¿Por qué no hay ningún campo con un elemento? [duplicar]
Esto se ha preguntado aquí, pero marcado como respondido y no siento que la pregunta haya sido respondida nunca, o al menos no me quedó clara.
No entiendo por qué el conjunto que consta solo del elemento $\{0\}$ junto con lo habitual $+$ y $×$ no cumple los criterios, ya que $0$ actúa como identidad tanto aditiva como multiplicativa.
Es decir, dejando $G = \{0\}$, entonces
$∀ g ∈ G, 0+g = g$ y
$∀ g ∈ G, 0·g = g$ (Ya que $0·0 = 0$ )
De manera similar, es tanto su propio inverso aditivo como multiplicativo. ¿Cuál es el problema solo a nivel de campo, sin desear que satisfaga algunas propiedades adicionales para la teoría de categorías o la geometría algebraica / aritmética?
Respuestas
Entonces, repasemos: $(F,+,\cdot,0,1)$ es un campo si
- $(F,+,0)$ es un grupo abeliano
- $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$ es un grupo abeliano
Qué sucede si $0 = 1$ y $F$¿El singleton contiene ese elemento? Entonces esta última característica no se satisface, porque$F \setminus \{ 0 \} = \varnothing$sin embargo, todos los grupos no están vacíos por supuesto. (Es decir, los axiomas de grupo implican la existencia de un elemento en él, el elemento de identidad, por lo que un grupo siempre está vacío).
Dejar $K := \{0\}$. Entonces$K \setminus \{0\}$ no puede ser un grupo multiplicativo, ya que no contiene ningún elemento de identidad.