¿Por qué una función inyectiva continua no puede partir de$\mathbb R$sobre$[-1, 1]$tiene una inversa discontinua?

Question

Aquí @Ian dice que hay una propiedad particular de$\mathbb R$e intervalos que evita que una hipotética función inyectiva continua$\mathbb R$sobre$[-1, 1]$de tener una inversa discontinua. ¿Qué es esta propiedad?

Answer 1

Un mapa inyectivo continuo$f$entre dos intervalos reales es monótona. Si$f$es también sobre, la imagen directa de cualquier intervalo abierto es un intervalo abierto (para la topología inducida sobre$[-1,1]$).

Por lo tanto, la imagen inversa de cualquier intervalo abierto bajo$f^{-1}$Esta abierto. Demostrando que$f^{-1}$es continuo

Answer 2

Tal$f$no puede existir Considerar$f(x)=1$, dejar$a<x<b$, suponer$f(a)<f(b)$,$f([a,x])$es un intervalo ya que la imagen de un conjunto conexo por una aplicación continua es conexa, contiene$f(a)$y$f(x)=1$, ya que$f(a)<f(b)<1$, contiene$f(b)$. Existe$c\in [a,x]$tal que$f(x)=f(b)$. contradicción.

Si$f(b)<f(a)$,$f([b,x])$es un intervalo que contiene$f(a)$contradicción.