Primo relativo a $0$
Esta pregunta es más general, pero voy a usar un teorema para motivarla.
Supongamos que quiero demostrar que existe un $r$ tal que $r^3 + r + 1 = 0$. El primer paso es asumir que existe tal$r$, entonces $r = \frac{p}{q}$ dónde $p,q \in \mathbb{Z}$, $q \neq 0$ dónde $p,q$ son relativamente de primera.
Esta es mi pregunta. Si esto$r$ fueron $0$ (no lo es, y puedo descartarlo, pero me interesa si realmente necesito descartarlo por completo rigor), que $r = \frac{0}{q}$. Pero$0 \cdot 0 = 0$ y $0 \cdot q = 0$, por lo tanto $p$ y $q$ tener un factor común de $0$.
Pero $\gcd(p,q) = 1$, todavía, desde $1 > 0$y no parece importar si $q$ es negativo.
Basado en esto, mi conclusión es que realmente no importa si $p = 0$y no necesito considerar esto. ¿Está bien? Si escribiera "asumir$p$ y $q$ no tienen factores comunes ", eso ya es un poco ambiguo porque seguramente tienen un factor común de $1$, pero la suposición más formal de "relativamente principal" parece estar bien.
Respuestas
Si reemplazamos "$p,q$ son relativamente primos "con"$\frac pq$ está en 'término más bajo' "¿cambiaría su forma de pensar?
Si $q > 1$ entonces $\frac 0q = \frac 01$ entonces $\frac 0q$ no está en los términos más bajos.
Si usamos la notación de $\gcd$ y "prima relativa" aunque el argumento es el mismo.
Como $0\cdot q = 0$ tenemos el $q$ es un divisor de $0$ y entonces $\gcd(0, q) = q$ y si $q > 1$ entonces $\gcd(0,q) = q$ y por lo tanto
Si $q>1$ entonces $0$ y $q$ no son relativamente primos.
Pero $\gcd(0,1) = 1$ entonces
$0$ y $1$ son relativamente de primera.
Y podemos simplemente continuar.
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Pero en su análisis se confundió e hizo una convolución.
Tu dices:
Pero 0⋅0 = 0 y 0⋅q = 0, por lo que tanto p como q tienen un factor común de 0.
No exactamente. tenemos$0\cdot q =0$. Tu no tienes$0\cdot something = q$. Entonces$0$NO es un factor de$q$. Entonces$0$no es un factor de nada excepto de sí mismo.
Lo que no tiene y debería haber dicho es porque$0\cdot q = 0$ y $1\cdot q = q$ que es $q$ (y no $0$) que es un factor común de $0$ y $q$.
De hecho, todo es un factor de$0$ entonces $\gcd(0,anything) = |anything|$. (Tener en cuenta$\gcd(a,b) = \gcd(a,-b) = \gcd(-a, b)=\gcd(-a, -b)$ porque si algo divide a los dos $a$ y $b$ también divide $-a$ y $-b$.)
Y $0$ y $q$ son medios relativamente primarios $\gcd(0, q) = 1$. Pero$\gcd(0, q) = |q|$ para tener $0$ y $q$ relativamente primo debemos tener $q = \pm 1$.
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oh, debo señalar, como Prasun Biswas me corrigió, que cuando definimos $\gcd(a,b)$y el "mayor" común divisor, la mayoría de los textos no necesariamente significan "mayor" en magnitud, sino "mayor" en divisibilidad. Definimos$a\preceq b$ para decir eso $a$ divide $b$y eso es un orden parcial (no total, no se comparan dos elementos). Usando este orden, el divisor común "mayor" es el divisor común en el que se dividen todos los demás divisores comunes.
En su mayor parte, la definición es la misma que si $a,b$ son ambos positivos $a\preceq b \implies a \le b$. Y si$a,b$ son números enteros positivos, el mayor común divisor en magnitud y el común divisor mayor divisibilidad son los mismos.
Pero en este caso como todo se divide $0$, nosotros siempre tenemos $q\preceq 0$ y $\max_{\preceq} \mathbb Z = 0$ y $0$es el mayor en divisibilidad que todos los enteros. Entonces, aunque todos$q$ son divisores comunes de $0$ y $0$, $\gcd(0,0) = 0$.