probabilidad de que la primera$2$los resultados son uno, dado que el resultado tres es el último resultado que ocurre
Considere una secuencia interminable de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene la misma probabilidad de producir cualquiera de los resultados.$1$,$2$, o$3$. Dado ese resultado$3$es el último de los tres resultados en ocurrir, encuentre la probabilidad condicional de que
- los dos primeros ensayos dan como resultado un resultado de$1$
mi intento: dejar
{una$1st$} = evento de que el resultado de la primera prueba sea uno
{una$2nd$} = evento de que el resultado de la segunda prueba sea uno
{tercero último} = evento en el que el resultado tres ocurre después de que hayan ocurrido los resultados uno y dos.
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} = \dfrac{P(\text{third last}) \cdot P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})}$ $= P(\text{one 1st}|\text{third last}) \cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last})$
ahora, dado que cada ensayo tiene la misma probabilidad de ser$1$,$2$, o$3$y se nos da que el$1^{st}$juicio no es$3$por eso,$P(\text{one 1st}|\text{third last})=0.5$
similar,$P(\text{one 2nd}|\text{one 1st}\cap \text{third last}) = 0.5$dado que todos los ensayos son independientes, es igualmente probable que cada ensayo sea$1$,$2$, o$3$y el resultado del segundo ensayo no puede ser$3$(desde el resultado$3$ocurre después de los resultados$1$y$2$ambos han ocurrido)
por eso,$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) =0.25$, pero la respuesta dada es$\dfrac{1}{6}.$
¿qué hice mal?
editar: la respuesta dada (que entiendo) es
$P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}|\text{third last}) = \dfrac{P(\text{one 1st}\cap \text{one 2nd}\cap \text{third last})}{P(\text{third last})} =\dfrac{P(\text{one 1st})\cdot P(\text{one 2nd}|\text{one 1st})\cdot P(\text{third last}|\text{one 2nd}\cap \text{one 1st})}{P(\text{third last})} = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{6}$
Respuestas
Hay algunas suposiciones que están equivocadas.
Por ejemplo, la secuencia$(1,1,3)$no es un evento "penúltimo" legítimo, pero se cuenta como legítimo en su cálculo.
El primer "uno primero|tercero último" se calcula correctamente para ser$1\over 2$. Sin embargo, el "un segundo | uno primero y tercero último" no es$1\over 2$Porque un$2$tiene que ocurrir en algún lugar después de la$1$y antes$3$así que dado el primero es$1$y el ultimo es$3$, hay más posibilidades de que un$2$ocurre en el segundo juicio.