Probabilidad de seleccionar espadas o un as de una baraja de cartas
Encuentre la probabilidad de que dado $i$ cartas de una baraja de $52$, $j$ de ellos son espadas y $k$ de ellos son ases, donde $1\leq i\leq 52, \max\{i-39,0\}\leq j\leq \min\{i, 13\},$ y $\max\{i-48, 0\}\leq k\leq \min\{i, 4\}.$
En el caso general, obviamente el número de formas de seleccionar el $i$ tarjetas es ${52\choose i}$. Definir$P(A_1)$ ser la probabilidad de que $j$ se eligen espadas y $P(A_2)$ la probabilidad de que $k$se eligen ases. Computar$P(A_1),$ seleccionamos las espadas y luego las no espadas, y de manera similar para $P(A_2)$. Computar$P(A_1\cap A_2),$consideramos el número de posibilidades donde hay un as de espadas o no hay un as de espadas. Luego$P(A_1) = \dfrac{{13\choose j}{39\choose i-j}}{{52\choose i}}, P(A_2) = \dfrac{{4\choose k}{48\choose i-k}}{{52\choose i}}, P(A_1\cap A_2) = \dfrac{{1\choose 1}{3\choose k-1}{12\choose j-1}{36\choose i-j-k+1} + {3\choose k}{12\choose j}{36\choose i-j-k}}{{52\choose i}}$, dónde ${a\choose b} = 0$ Si $b < 0$ o $b > a$por simplicidad. Entonces la probabilidad deseada es el resultado$P(A_1) + P(A_2)-P(A_1\cap A_2).$
¿Es esto correcto?
Respuestas
Si. Tu razonamiento y conteo es correcto.
$$\begin{align} \mathsf P(\spadesuit_j)&=\left.\tbinom {13}{j}\tbinom{39}{i-j}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k)&=\left.\tbinom{4}{k}\tbinom{48}{i-k}\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j)&=\left.\left[\tbinom 11\tbinom 3{k-1}\tbinom {12}{j-1}\tbinom{36}{i-j-k+1}+\tbinom10\tbinom 3k\tbinom{12}j\tbinom{36}{i-j-k}\right]\middle/\tbinom{52}i\right. \\[1ex]\mathsf P(A_k\cup\spadesuit_j)&=\mathsf P(\spadesuit_j)+\mathsf P(A_k)-\mathsf P(A_k\cap\spadesuit_j) \end{align}$$