probar que si$a+b$es un número irracional, entonces al menos uno de$a$o$b$es irracional
Encontré esta pregunta en un libro. Traté de probar la condición de la siguiente manera: supongamos que a y b son racionales. Claramente la suma de$a$y$b$es racional, lo que contradice la condición, que es que$a+b$es irracional Por lo tanto, al menos uno de a o b es irracional.
Tengo la sensación de que algo anda mal allí. Siento que usar pruebas contrapositivas aquí podría ser mejor, pero no estoy seguro porque soy nuevo en el mundo de las pruebas.
Respuestas
La declaración que estás tratando de probar es$\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Esta es simplemente la traducción simbólica de la afirmación "por cada$a,b$, si$a+b$es irracional entonces al menos uno de$a$o$b$es irracional".
Aquí, la declaración$X$es "$a+b\notin \Bbb{Q}$", y la declaración$Y$es "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$". Entonces, la contrapositiva de "por cada$a,b$($X \implies Y$)" es "para cada$a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", que en este caso es:
Para cada$a,b$tenemos ($a\in \Bbb{Q}$y$b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)
y esto es lo que argumentaste.
Quiero abordar su comentario "No veo cómo funciona el contrapositivo aquí".
Dejar$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$(el conjunto de los números irracionales).
quieres mostrar eso
$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$
Antes de cambiar a la contrapositiva, tenga en cuenta que para$a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$
Ahora, la contrapositiva se convierte en
$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$que, a la luz de la observación anterior, es$$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$
que es una propiedad definitoria de$\mathbb{Q}$.
Recuerda también que$\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.