Probar / refutar: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ para $A \geq B$

Aug 20 2020

He estado tratando de demostrar lo siguiente, por $A \geq B$, ambos son enteros estrictamente positivos: $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$$ No estoy seguro de si es verdad. Hasta ahora no puedo encontrar un contraejemplo. Alguien tiene una idea?

Respuestas

1 ClementYung Aug 20 2020 at 17:08

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ Tenga en cuenta que $\f{A/B} \leq \c{A/B}$, entonces: $$ A - \f{A/B} - \c{A/B} \leq A - 2\f{A/B} \\ (\f{A/B} + 1)B = \f{A/B}B + B \geq (A/B - 1)B + B = A $$ Por tanto, la desigualdad se mantiene claramente como $\f{A/B} > 0$.

1 Fawkes4494d3 Aug 20 2020 at 17:08

$A\ge B\implies\lfloor A/B \rfloor\ge 1$ y $\lceil A/B \rceil\ge 1$ $$A-\lfloor A/B\rfloor - \lceil A/B \rceil <A=A/B\times B\le \lceil A/B\rceil \times B \le (\lfloor A/B \rfloor +1)\times B$$

donde la última desigualdad se mantiene desde $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor $ Si $A$ es divisible por $B$, de lo contrario $A/B$ no es un número entero y $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor +1$.