Probar / refutar: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$ para $A \geq B$

Question

por $A \geq B$, ambos son enteros estrictamente positivos, ¿es cierto lo siguiente? $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq \lfloor A/B \rfloor \times (B+1)$$

Probé la técnica utilizada para probar una pregunta muy similar: Probar / refutar:$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ para $A \geq B$

Pero parece que no funcionó para probar esto. También intenté generar empíricamente A y B aleatorios, pero tampoco puedo encontrar un contraejemplo.

Answer 1

$\newcommand{f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$ Dejar $B = 100$ y $A = 199$. Entonces: \ begin {align *} LHS & = 199 - 1 - 2 = 196 \\ RHS & = 1 (100 + 1) = 101 \ end {align *} Entonces la desigualdad es falsa.

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EDITAR : En respuesta al comentario de OP, supongamos que restringimos más que$\f{A/B} \geq N$ para algunos $N \in \Bbb{Z}^+$. Dejar$B = 3N + 3$, y deja $A = (N + 1)(3N + 3) - 1$. Claramente$A \geq B$ y $\f{A/B} = N$. \ begin {align *} LHS & = (N + 1) (3N + 3) - 1 - N - (N + 1) \\ & = (N + 1) (3N + 1) \\ \ end {align * } \ begin {align *} RHS & = N (3N + 4) \\ & = N (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - (3N + 1) + 3N \\ & = (N + 1) (3N + 1) - 1 <LHS \ end {align *} Entonces, la desigualdad aún fallará.