Probar una función$\pi$de$U(q) \to U(q')$estar en

Aug 16 2020

Esta pregunta en particular se hizo en mi prueba de álgebra abstracta y no pude resolverla.

Dejar$q ,q' \in \mathbb{N} $y deja$q'\mid q$. Dejar$U(m)$denote el grupo multiplicativo de clases de residuos coprimo a$m$. Dejar$\pi: U(q) \to U(q')$ser tal que si$a \in U(q)$,$\pi(a)$es un elemento único en$U(q')$tal que$a \equiv \pi(a) \pmod {q'}$.

Entonces muestra que$\pi$está sobre.

Intento - Estaba confundido. Todo lo que pude mostrar es que$a$no es cero como$a$pertenece a$U(q)$y$a \not \equiv 0 \pmod {q'}$como$\pi(a) \not \equiv 0 \pmod {q'}$. Pero claramente entonces no son suficientes para probar.

Amablemente, sólo da algunos consejos. Descanso Me gustaría trabajar solo.

Respuestas

2 FabioLucchini Aug 15 2020 at 23:55

Pista: deja$y\in\Bbb Z$tal que$\gcd(y,q')=1$. Por el teorema chino del resto existe$k\in\Bbb Z$tal que$y+kq'\equiv 1\pmod p$para cada divisor primo$p$de$q$que no divide$q'$.


Prueba detallada: Dejar$P$Sea el conjunto de divisores primos de$q$que no divide$q'$. Por el teorema chino del resto existe$k\in\Bbb Z$tal que$$k\equiv(1-y)q'^{p-2}\pmod p$$para cada$p\in P$. Para cada$p\in P$, de$p\nmid q'$sigue$q'^{p-1}\equiv 1\pmod p$, por eso$y+kq'\equiv 1\pmod p$.

Tenga en cuenta que$\gcd(y+kq',q)=1$. para dejar$p$ser un divisor primo de$\gcd(y+kq',q)$. Después$p|q$. Si$p|q'$, después$p|y$que contradice$\gcd(y,q')=1$. De lo contrario, si$p\nmid q'$, después$p\in P$, por eso$y+kq'\equiv 1\pmod p$que contradice$p|(y+kq')$.

Si$\bar x$denote la clase de residuo de$y+kq'$módulo$q$y$\bar y$la clase de residuo de$y$módulo$q'$, después$\bar x\in U(q)$y$\bar y=\pi(\bar x)$.

1 ne3886 Sep 23 2020 at 17:20

Consideramos tres casos:

  1. $′ = ^{\alpha},\, =^{\beta},\quad \alpha\leq\beta,\, \text{ prime}$

  2. $q' = p_1^{\alpha_1}\ldots p_r^{\alpha_r},\, q' = p_1^{\beta_1}\ldots p_r^{\beta_r},\quad \alpha_i \leq \beta_i,\, p_i \text{ prime}$

  3. $q' = q_1,\, q = q_1q_2,\quad gcd(q1,q2) = 1$

  • caso 1: Vamos$a\in\mathbb{Z}$:$$a + p^{\alpha}\mathbb{Z} \in U\left(p^{\alpha}\right) \iff gcd(a,p^{\alpha}) = 1 \iff gcd(a, p) = 1 \iff gcd(a, p^{\beta}) = 1 \iff a + p^{\beta}\mathbb{Z}\in U\left(p^{\beta}\right)$$tenemos$\pi\left(a+p^{\beta}\mathbb{Z}\right)=a+p^{\alpha}\mathbb{Z}$

  • caso 2: por el teorema del resto chino:\begin{align*} \mathbb{Z}/q'\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z}\\ \mathbb{Z}/q\mathbb{Z} &\simeq \prod_{i=1}^{r}\mathbb{Z}/p_i^{\beta_i}\mathbb{Z} \end{align*}

asi que\begin{align*} U(q') &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\alpha_i})\\ U(q) &\simeq \prod_{i=1}^{r}U(p_i^{\beta_i}) \end{align*}cada$\pi_{i}: U(p_i^{\beta_i}) \to U(p_i^{\alpha_i})$es sobreyectiva por lo que es$\pi = \pi_{1}\times\ldots\times\pi_{r}$.

  • caso 3: Vamos$a\in\mathbb{Z}$S t$a+q_1 \mathbb{Z}\in U(q_1)$. Asi que$gcd(a,q_1) = 1$La ecuacion$$na -mq_1 = 1,\quad m,n\in\mathbb{Z} \text{ unknown}$$admite soluciones:\begin{align*} n &= n_0 + q_1 t\\ m &= m_0 + a t\\ t &\in \mathbb{Z} \end{align*}dónde$n_0, m_0$son solución particular de la ecuación.

queremos encontrar una solución a la ecuación:$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$ $$n',m', s \in \mathbb{Z} \text{ unknown}$$

la primera ecuación es equivalente a$n' a -q_1(sn' + m'q_2) = 1$asi que\begin{align*} n' &= n_0 + q_1 t\\ m'q_2 &= m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t \end{align*} $gcd(q_1,q_2) = 1$entonces el mapeo\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{s} &\mapsto a -q_1\bar{s} \end{align*}es inyectiva, por lo que es sobreyectiva; existe$s_0\in\mathbb{Z}$S t$gcd(q_2, a - q_1s_0) = 1$. Nosotros ponemos$\alpha = a - q_1s_0,\, \beta = m_0 - s_0 n_0$Por el mismo argumento, el mapeo:\begin{align*} \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z} &\to \mathbb{Z}/q_2\mathbb{Z}\\ \bar{t} &\mapsto \beta + \alpha\bar{t} \end{align*}es sobreyectiva, por lo que la ecuación$m'q_2 = m_0 - sn_0 +(a - sq_1)t$admite soluciones$m_0^{\prime}, t_0$. Finalmente ponemos$n_0^{\prime} = n_0 + q_1 t_0$, por lo que hemos encontrado una solución particular$s_0, n_0^{\prime}, m_0^{\prime}$a la ecuacion$$n'(a - sq_1) - m'q_1q_2 = 1$$nosotros ponemos$b = a -s_0 q_1$; tenemos$b\in U(q_1q_2)$y$\pi\left(b+q_1q_2\mathbb{Z}\right) = a + q_1\mathbb{Z}$; por lo que hemos demostrado$\pi$es sobreyectiva.

conceptualmente hemos probado que los tres diagramas son conmutativos

dónde$cr_{\star}$son isomorfismos dados por el teorema chino del resto, por lo que deducimos la sobreyección del homomorfismo deseado a partir de la sobreyectividad de los otros