Problema de Cauchy con un parámetro sobre los datos iniciales

Aug 21 2020

Considerar

\begin{casos} y' = y^{\frac{1}{3}}\\ y(0)=k \in \mathbb{R} \end{casos}

  • ¿Para qué valores de$k$¿El problema tiene una única solución local?
  • Demuestre que para los demás valores de$k$el problema tiene mas de una solucion

i)$f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$es una función continua sobre$\mathbb{R}^2$, tiempo$f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$que es discontinuo en$0$. Por lo tanto, en cualquier barrio de$(0,k)$con$k\ne0$,$f_y$es continua, y por lo tanto tengo existencia local y unicidad de la solución.

ii) Primero observo que$f(t,y)$no es Lipschitz, por lo tanto no espero singularidad. De hecho, por$k=0$,$y(t)=0$es una solución y, por integración, también encontré$$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

** ¿Está todo correcto? **

Respuestas

1 Noname Aug 20 2020 at 23:40

La primera parte es correcta y la segunda no lo es. Pero tuviste una buena idea.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$después$y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

Considere ahora$y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$y comprueba que$y'=y^\frac{1}{3}$.