Propiedades del espacio-tiempo anti-de Sitter

Question

Aprendí leyendo nLab (https://ncatlab.org/nlab/show/anti+de+Sitter+spacetime) que el espacio-tiempo anti-de Sitter de dimensión $d$, $AdS_d$, es homeomorfo a $\mathbb{R}^{d-1} \times S^1$. Traté de usar la primera imagen de este enlace para inspirarme, pero todavía me cuesta entender conceptualmente por qué estos dos espacios son homeomorfos. ¿Alguien puede explicarlo? Además, ¿cuál es la dimensión de los anuncios que se proporcionan en esta primera imagen?

Answer 1

Algo que a veces no se discute en detalle es que lo que los físicos llaman espacio anti-de Sitter no es de hecho la subvariedad

$$\sum_{i = 1}^{d-1} (x_i)^2 - (x_d)^ 2 - (x_0)^2 = -R^2$$

de $\mathbb{R}^{d-1,2}$. Tomar$d=2$ para la concreción: la ecuación definitoria se convierte en

$$x_1^2 - x_2^2 - x_0^2 = -R^2,$$

dónde $x_0$ y $x_2$son las coordenadas temporales. Este es un hiperboloide de una hoja con simetría de rotación alrededor del$x_1$eje, que es el eje en forma de espacio; por lo tanto, su coordenada de tiempo corresponde a moverse alrededor del hiperboloide y, por lo tanto, ¡es periódica! Tiene la topología de$\mathbb{R} \times S^1$.

Esto no es muy razonable físicamente (o útil), por lo que no es lo que solemos llamar espacio-tiempo anti-de Sitter, y no es lo que muestra la imagen en el enlace. Para conseguir algo un poco más realista, tomamos la portada universal de este espacio-tiempo. Puede buscar la definición de cobertura universal si lo desea, pero básicamente será otro espacio-tiempo que comparta las propiedades métricas locales pero no la topología global de nuestro espacio-tiempo original. En términos menos abstractos, mantenemos la misma métrica y "desenrollamos" el hiperboloide para que la coordenada de tiempo ya no sea periódica. Este espacio-tiempo tiene topología$\mathbb{R}^d$, y es lo que se muestra en la imagen.