Prueba de$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$, categorías fibradas en conjuntos

Question

Lema 3.34: Para$F,G,H$preroldanas en categorías/conjuntos discretos:$$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G \cong \mathfrak{S}_{F \times_H G}$$

Prueba: Los únicos 2-morfismos de categorías fibrosas en conjuntos son identidades. (Árbitro:http://wwwf.imperial.ac.uk/~dg3215/other/stacks.pdf)

Pregunta: No estoy muy seguro de la prueba donde hacen uso de 2-morfismos de categorías fibradas en conjuntos son identidades para probar el lema.

Intento: Queremos mostrar una equivalencia de categorías entre$\mathfrak{S}_{F \times_H G}$y$\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$. Basta verificar fibrado que$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$para todos$S \in \mathfrak{S}$. por lema$3.9$,$\mathfrak{S}_{F}$es una categoría de fibra sobre$\mathfrak{S}$, por lo que podemos usar el lema$3.31$que se aplica a las categorías de fibra y obtener$\mathfrak{S}_{F \times_H G}(S) \cong \mathfrak{S}_F(S) \times_{\mathfrak{S}_H(S)} \mathfrak{S}_G(S)$para todos$S \in \mathfrak{S}$. Obtenemos un 1-morfismo, isomorfismo$\alpha: \mathfrak{S}_{F \times_H G} \cong \mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G$, y denotamos la inversa como$\alpha^{-1}$. Esta es una equivalencia ya que el 2-morfismo$(\alpha^{-1} \circ \alpha) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_{F \times_H G}}$es la identidad, por lo tanto un 2-isomorfismo. Similarmente,$(\alpha \circ \alpha^{-1}) \Rightarrow Id_{\mathfrak{S}_F \times_{\mathfrak{S}_H} \mathfrak{S}_G}$es un 2-isomorfismo.

Recordatorio/Resumen (Ejemplo 3.8 p17):

La categoría 2$\mathfrak{S}_F$:

Dejar$F : \mathfrak{S}^{opp} \to Categories$ser un funtor (es decir, un prehaz de categorías). Asociar a$F$la siguiente categoría de fibra$\mathfrak{S}_F$sobre$\mathfrak{S}$: Los objetos son pares$(U,x)$de objetos$U$en$\mathfrak{S}$y$x \in F(U)$. morfismos de$(U, x)$a$(V, y)$son pares$(f, \varphi)$de morfismos$f : U \to V$y$\varphi : x \to f^* y$, donde escribimos$f^∗ := F(f)$. La composición de$(g, \psi : y \to g^∗z) \circ (f, \varphi : x \to f^∗y)$Se define como$(g \circ f, f^∗(\psi) \circ \varphi)$. La proyección a$\mathfrak{S}$olvida el segundo componente de los pares.

Answer 1

Parece que hay dos puntos de confusión en la pregunta.

Punto 1: ¿Por qué los únicos 2-morfismos de categorías fibrados en conjuntos son las identidades?

Bueno, ¿qué es un 2-morfismo de categorías fibradas?

Dejar$A$ser la categoría base,$P:B\to A$,$Q:C\to A$categorías de fibras (más$A$),$F,G:P\to Q$1-morfismos de categorías fibradas (es decir, funtores tales que$QF=QG=P$). Entonces un 2-morfismo$\alpha:F\to G$es una transformación natural de$F$a$G$con la propiedad que$Q(\alpha_b)=1_{Pb}$para todos$b\in B$(es decir,$\alpha_b$se encuentra en la fibra Q sobre$Pb$para todos$b \in B$).

en el caso de que$Q$se fibra en conjuntos, ya que$\alpha_b$siempre está en el$Q$-fibra sobre$Pb$(que es discreto/un conjunto), tenemos que$\alpha_b$es un morfismo de identidad. Ya que$\alpha_b:Fb\to Gb$es un morfismo de identidad, concluimos que$Fb=Gb$para todos$b\in B$, y para todos$f:b\to b'$, la naturalidad cuadra a la fuerza$Ff=Gf$, asi que$F=G$, y$\alpha=1_F=1_G$.

En otras palabras, si$Q$tiene fibras discretas, entonces las categorías hom$\mathbf{Fib/A}(P,Q)$también son discretos.

Punto 1.5: Implicaciones del punto 1 para productos de 2 fibras frente a productos de 1 fibra

Reclamo: si$R:D\to A$es una categoría de fibra con fibras discretas, y$P:B\to A,Q:C\to A$son categorías fibradas arbitrarias, y$F:P\to R$,$G:Q\to R$son 1-morfismos de categorías fibradas, entonces el producto de 1-fibra$P\times_R^1 Q$es de hecho el producto de 2 fibras$P\times_R^2 Q$.

Aquí hay una prueba simple. Supongamos que te doy un cuadrado de 2 desplazamientos$$ \require{AMScd} \begin{CD} T @>>> P \\ @VVV @VVV \\ Q @>>> R, \\ \end{CD} $$entonces porque$R$tiene fibras discretas, el único morfismo 2 que puede hacer que este cuadrado conmute es una identidad, por lo que en realidad conmuta 1. Por lo tanto, hay un único morfismo$T\to P\times_R^1 Q$. La unicidad de este morfismo garantiza la unicidad hasta el isomorfismo, por lo que esto hace que$P\times_R^1 Q$satisfacer la propiedad universal de un producto de 2 fibras de$P$y$Q$sobre$R$.

Alternativamente, solo verifique que cuando$R$tiene fibras discretas, la construcción explícita de$P\times^2_R Q$reduce a algo isomorfo a la construcción habitual de$P\times^1_R Q$.

Punto 2: ¿Por qué este hecho implica el resultado pretendido?

voy a usar$\int U$para denotar la categoría de elementos/construcción de Grothendieck para$U:A^{\text{op}}\to \mathbf{Cat}$, ya que esta es una notación más estándar en mi experiencia, al menos para pregavillas valoradas en conjuntos.

queremos mostrar$$\int U\times_{\int W} \int V\cong \int U\times_W V$$dónde$U\overset{\phi}{\to} W \overset{\psi}{\leftarrow} V$es un cospan de pregavillas de categorías, y$W$se valora en categorías discretas.

Sabemos que el producto de fibra de la izquierda puede tomarse como el producto de 1 fibra cuando$W$es una pregavilla en$\mathbf{Set}$. Entonces los objetos del lado izquierdo son tuplas$((a,u),(a,v))$con$u\in U(a)$,$v\in V(a)$, tal que$\phi(u)=\psi(v)$y morfismos de$((a,u),(a,v))$a$((a',u'),(a',v'))$en el lado izquierdo hay tuplas$((f:a\to a',\alpha : u\to f^*u'),(f,\beta: v\to f^*v'))$, tal que$\phi(\alpha)=\psi(\beta)$.

Por otro lado, los objetos del lado derecho son tuplas$(a,(u,v))$con$(u,v)\in (U\times_W V)(A)=U(A)\times_{W(A)} V(A)$y morfismos$(a,(u,v))\to (a',(u',v'))$en el lado derecho hay pares$(f:a\to a', (\alpha,\beta):(u,v)\to f^*(u',v'))$.

Al comparar los datos, vemos que los dos lados consisten en los mismos datos y podemos dar un isomorfismo entre las dos categorías.

Nota final

Cuando$U$y$V$también son pregavillas valoradas en conjuntos, esto se vuelve aún más simple, ya que los morfismos de la izquierda ahora son solo$f:a\to a'$tal que$u=f^*u'$,$v=f^*v'$, y los morfismos de la derecha también son$f:a\to a'$tal que$(u,v)=f^*(u',v')$.