¿Prueba de que secuencias métricas-Cauchy = secuencias seminormas-Cauchy en espacios de Fréchet?
Estoy tratando de demostrar la siguiente afirmación del libro Teoría espectral y mecánica cuántica de V. Moretti:
Una secuencia $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ es Cauchy a distancia $d$ en un espacio metrizable localmente convexo $X$ si y solo si es Cauchy para cada seminorma $p$ generando la topología: para cada $\epsilon > 0$ Ahi esta $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ tal que $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ cuando $n,m > N_\epsilon^{(p)} $. En consecuencia, la integridad no depende en realidad de la distancia utilizada para generar la topología convexa local.
¿Cómo podemos probar esto?
Si una secuencia es Cauchy para $d$, entonces eventualmente quedará en una bola $B_{d,\delta}(x)$ para cualquier $\delta>0.$ De alguna manera tenemos que usar este hecho para demostrar que eventualmente estará en alguna bola $B_{p,\epsilon}(y)$ para cualquier fijo $p\in P,\epsilon>0.$ Estoy seguro de que el resultado dependerá de $d$ y $P$generando las mismas topologías, pero no veo cómo vincular las dos. Siempre podemos anidar un conjunto de métricas abiertas en un conjunto de seminormas abiertas, y viceversa, pero esto todavía no me lleva a una solución obvia.
Esta publicación contiene una prueba de que la integridad de cualquier métrica que genera la misma topología que$P$garantiza la integridad de todas estas métricas. Pero la declaración aquí involucra seminormes, por lo que no es una afirmación equivalente, por lo que puedo decir.
Respuestas
Supongo que la métrica es invariante en la traducción. Dejar$(x_n)$ ser Cauchy en la métrica y $\epsilon >0$. Si$p$ es una semi norma que genera la topología, entonces $\{x: p(x) <\epsilon\}$ contiene un todo abierto $B_d(0,\delta)$. por$n,m$ suficientemente largo $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ y por lo tanto $p(x_n-x_m) <\epsilon$.
Converse se sigue del hecho de que $B_d(0,\epsilon)$ contiene un conjunto del tipo $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ por algún entero positivo $N$, algunos números positivos $\epsilon_i$ y algo $p_i$s.