¿Prueba de que secuencias métricas-Cauchy = secuencias seminormas-Cauchy en espacios de Fréchet?

Aug 19 2020

Estoy tratando de demostrar la siguiente afirmación del libro Teoría espectral y mecánica cuántica de V. Moretti:

Una secuencia $\{x_n\}_{n\in N} \subset X$ es Cauchy a distancia $d$ en un espacio metrizable localmente convexo $X$ si y solo si es Cauchy para cada seminorma $p$ generando la topología: para cada $\epsilon > 0$ Ahi esta $N_\epsilon^{(p)} \in \mathbb N$ tal que $p(x_n −x_m ) < \epsilon$ cuando $n,m > N_\epsilon^{(p)} $. En consecuencia, la integridad no depende en realidad de la distancia utilizada para generar la topología convexa local.

¿Cómo podemos probar esto?


Si una secuencia es Cauchy para $d$, entonces eventualmente quedará en una bola $B_{d,\delta}(x)$ para cualquier $\delta>0.$ De alguna manera tenemos que usar este hecho para demostrar que eventualmente estará en alguna bola $B_{p,\epsilon}(y)$ para cualquier fijo $p\in P,\epsilon>0.$ Estoy seguro de que el resultado dependerá de $d$ y $P$generando las mismas topologías, pero no veo cómo vincular las dos. Siempre podemos anidar un conjunto de métricas abiertas en un conjunto de seminormas abiertas, y viceversa, pero esto todavía no me lleva a una solución obvia.

Esta publicación contiene una prueba de que la integridad de cualquier métrica que genera la misma topología que$P$garantiza la integridad de todas estas métricas. Pero la declaración aquí involucra seminormes, por lo que no es una afirmación equivalente, por lo que puedo decir.

Respuestas

2 KaviRamaMurthy Aug 19 2020 at 12:57

Supongo que la métrica es invariante en la traducción. Dejar$(x_n)$ ser Cauchy en la métrica y $\epsilon >0$. Si$p$ es una semi norma que genera la topología, entonces $\{x: p(x) <\epsilon\}$ contiene un todo abierto $B_d(0,\delta)$. por$n,m$ suficientemente largo $x_n-x_m \in B_d(0,\delta)$ y por lo tanto $p(x_n-x_m) <\epsilon$.

Converse se sigue del hecho de que $B_d(0,\epsilon)$ contiene un conjunto del tipo $\{x:p_i(x) <\epsilon_i, 1\leq i \leq N\}$ por algún entero positivo $N$, algunos números positivos $\epsilon_i$ y algo $p_i$s.