¿Pueden dos campos que tienen monomorfismo entre sí no ser isomorfos? [duplicar]

Question

Más precisamente, dejemos $F_1, F_2$ ser campos, y no tenemos homomorfismos cero $f: F_1 \to F_2$ y $g: F_2 \to F_1$ (en realidad ambos son monomorfismo ya que $F_1, F_2$ son campos), ¿existe la posibilidad de que $F_1$ no es isomorfo a $F_2$?

Answer 1

Para ampliar el ejemplo dado por perpetuamente confundido , de hecho$\mathbb C$ y $\mathbb C(x)$ proporcionar un contraejemplo.

Algunos elementos adicionales.

$\mathbb C$ está algebraicamente cerrado: esto es bien conocido. $\mathbb C(x)$no es. En particular el polinomio$p(t) = t^2-x \in \mathbb C(x)[t]$ no puedo tener una raíz $\frac{r(x)}{s(x)} \in \mathbb C(x)$. Si fuera el caso, tendrías$r^2(x)=x s^2(x)$con la contradicción de que el polinomio izquierdo de la igualdad tiene un grado par y el derecho uno impar. Por lo tanto$\mathbb C$ y $\mathbb C(x)$ no son isomomorfos.

Además, la identidad es una incrustación obvia $\mathbb C \hookrightarrow \mathbb C(x)$.

Respecto a una incrustación $\mathbb C(x) \hookrightarrow \mathbb C$, debe saber que Dos campos algebraicamente cerrados son isomorfos si y solo si tienen el mismo grado de trascendencia sobre sus campos primos (prueba proporcionada en el enlace). Y también que la cardinalidad del cierre algebraico de un campo infinito$F$ tiene la cardinalidad de $F$. Como la cardinalidad de$\mathbb C(x)$ es el de $\mathbb C$, el cierre algebraico $\overline{\mathbb C(x)}$ de $\mathbb C(x)$ es isomorfo a $\mathbb C$ y por lo tanto puedes incrustar $\mathbb C(x)$ dentro $\mathbb C$.

Answer 2

Entonces, aparentemente, es posible que esto falle , aunque no pretendo entender los contraejemplos que se dan en los comentarios. Usted está preguntando si los campos satisfacen el Cantor-Schröder-Bernstein , y parece que no.

Editar: Retiro eso, creo que entiendo un ejemplo, si no su construcción. Hay una inclusión natural$\mathbb{C} \hookrightarrow \mathbb{C}(x)$ y una inclusión (complicada) $\mathbb{C}(x) \hookrightarrow F$ dónde $F \cong \mathbb{C}$, dónde $\mathbb{C}(x)$ es el campo de las funciones racionales sobre $\mathbb{C}$. Sin embargo, el campo complejo es algebraicamente cerrado mientras que$\mathbb{C}(x)$ no es (aparentemente), por lo que no pueden ser isomorfos.