¿Puedes doblar un cuadrado en un cuadrado de una quinta parte del área?
Amo el origami, y recientemente me dio una idea para un rompecabezas muy difícil pero hermoso. Tengo mucha curiosidad por saber si alguien aquí puede resolverlo.
Así que aquí está el rompecabezas. Se le da una hoja grande de papel perfectamente cuadrada sin marcas. Con este cuadrado, tienes que hacer un cuadrado de exactamente un quinto del área del cuadrado original. No le dan herramientas como una regla o tijeras, y todo lo que puede hacer es doblar el papel. ¿Cómo resuelves esto?
Respuestas
La forma de hacer esto es:
- Dobla el papel por la mitad a lo largo de ambos ejes. Ahora ha marcado el punto medio de los cuatro lados.
- Doblar a lo largo de las diagonales del movimiento del caballo, dibujadas aquí:
Esto crea el cuadrado rojo. Las cinco regiones de color tienen la misma área, por lo que el cuadrado rojo es 1/5 del tamaño del cuadrado con el que comenzó.
Dobla el papel horizontalmente exactamente en el medio; Dobla cada uno de los dos$1\times\frac 1 2$rectángulos en diagonal de modo que las dos diagonales sean paralelas. Gire el papel un cuarto de vuelta y haga exactamente lo mismo. Las cuatro diagonales que acaba de crear encierran un cuadrado de área$\frac 1 5$.
Necesitamos demostrar que la distancia entre dos diagonales paralelas es $\frac 1 {\sqrt 5}$. Esta distancia es igual a la altura sobre la diagonal de uno de los triángulos grandes que hemos creado. Estos triángulos tienen un área$\frac 1 4$ mientras que la longitud de la base, es decir, la longitud de una diagonal es $\frac {\sqrt 5} 2$. La declaración sigue de inmediato.
aquí hay una solución que creo que usándola de manera similar podemos tener cualquier fracción cuadrada deseada.
(imp la línea gris larga es la primera línea gris, la relativamente más corta es la segunda línea gris).
1. Lo que hacemos es obtener las líneas azules primero doblando en mitades varias veces, en este caso obtenemos 1/8 de división.
2. Tome cinco divisiones continuas desde el borde derecho.
3. Dobla el papel para encontrar la esquina superior derecha del cuadrado completo y el punto que es el extremo inferior de la quinta línea azul (en la imagen, una línea azul se superpone a la negra que es la cuarta línea azul).
4. Obtenemos la línea gris uniendo el "final de la quinta línea azul" y "una esquina". 5. no, tenemos un triángulo con lados x y (5/8) * x;
6. Haga una operación similar para la segunda línea gris del triángulo (con lados x y (3/8) * x), esta vez use el punto final de la tercera línea azul.
7. Dobla el borde superior del papel para obtener la línea verde de x / 8 de longitud que cruza la primera línea gris y el borde derecho del papel. (Se puede hacer fácilmente)
8. La región de la línea verde entre las 2 líneas grises es longitud x / 20. >! 9. Doble el borde derecho para obtener la línea roja que pasa desde el punto de intersección de la línea verde y la segunda línea gris.
10. ahora tenemos esta medida de longitud x / 20 en un lado que podemos copiar 4 veces doblando el papel para obtener una longitud x / 5 y luego hacer un cuadrado.
Ahora, cuando tengamos x / 5 de longitud, tomaremos x / 5 de longitud en un borde, digamos borde derecho y 2x / 5 de longitud en el borde superior (por lo tanto, estas 2 longitudes son perpendiculares entre sí)
esta x / sqrt (5) se puede usar para crear un cuadrado de área 1/5 del mayor;
imgur sigue siendo lento PD: cometí un gran error antes y obtuve 1/5 de longitud, la edición ahora da 1 / sqrt (5) de longitud
PD: Podemos generalizarlo para obtener cualquier fracción de área si la fracción se puede escribir como suma de 2 cuadrados significa aquí 5 = 2 2 + 1 1, también si realmente eres muy trabajador, en realidad puedes obtener las fracciones que desees, pero tienes que hacer estos últimos pasos varias veces.
No es una respuesta. Aquí solo hay una animación para visualizar la buena respuesta de Deusovi . Espero que lo disfruten.
Ampliando la respuesta de Deusovi, puedes doblar un cuadrado a cualquier fracción cuadrada de la fracción $n^2/(a^2+b^2)$, dónde $n <= a-b$.
Conseguir $1/5$, escoger $n=1$, $a=2$, $b=1$.
Divide los bordes en $a$a partes iguales. Luego dobla las líneas "movimientos de caballero"$(a,b)$. Esto generará$(a-b)^2$ cuadrados de tamaño $1/(a^2+b^2)$. Ahora reúna$n^2$ de estos para generar la fracción deseada.