¿Qué distingue los términos “relación”, “función” y “mapeo”?
En este contexto, el primer dominio$\theta_1\left(f\right)$y segundo dominio$\theta_2\left(f\right)$representan el conjunto de elementos de la imagen previa y el conjunto de elementos de la imagen, también conocido como rango .
Lo siguiente es de BBFSK , Parte A, Sección 8.4:
Una clase importante de relaciones consiste en las funciones , definidas por el requisito de unicidad$\forall_{x}\forall_{y}\forall_{z}\left(\left(xry\land xrz\right)\implies y=z\right).$ [$\dots$] La función $f$es un mapeo del primer dominio$\theta_1\left(f\right)$ en el segundo dominio$\theta_2\left(f\right)$: Si $\theta_2\left(f\right)$ está contenido en un conjunto $\mathcal{A},$ Nosotros decimos eso $f$es un mapeo en $\mathcal{A}.$
Aparentemente, ahí es donde introducen el término mapeo , y por el énfasis en cursiva, supongo que pretende ser una definición. ¿Es correcto entender esto como: el término mapeo significa una correspondencia entre dos conjuntos, o entre un conjunto y él mismo, de modo que el conjunto de elementos de la imagen es el segundo dominio?$\theta_2\left(f\right)$ de una función $f$. Específicamente, para cada elemento de argumento (preimagen) hay exactamente un elemento de imagen (definición de función ). En otras palabras, todas las asignaciones tienen un solo valor.
Además, esto distingue entre el término mapeo y función en que un mapeo tiene un codominio que no está cubierto necesariamente por elementos de imagen, mientras que una función cubre necesariamente su segundo dominio.
Estoy particularmente interesado en esta pregunta en lo que respecta a la informática y campos como el esquema de base de datos relacional y UML. Solía pensar que existía el mapeo de muchos a muchos . Aparentemente, el uso del término relación con respecto a las correspondencias de muchos a muchos es consistente con el uso matemático, pero el término mapeo debería restringirse a relaciones de muchos a uno, donde muchos pueden ser uno.
¿Es esto correcto?
Respuestas
El mapeo de términos es simplemente describir el verbo de lo que hace la función a su dominio en su codominio. Es decir, la función mapea el primer dominio en el segundo dominio, ya que por supuesto es sobreyectiva en su imagen, y si el segundo dominio está contenido en otro conjunto, decimos que se mapea en ese conjunto, aunque no sea sobreyectivo.
Entonces, un mapeo y una función son las mismas cosas. Nadie define una función como un ser sobreyectivo en su segundo dominio.
Como última nota, nadie llama a estos términos primer dominio y segundo dominio. Si tenemos una función
$f: A \rightarrow B$
Nosotros decimos eso $A$ es el dominio y $B$ es el codominio.
Con respecto a las relaciones de muchos a muchos, esto es exactamente una relación, y no necesariamente una función, ya que una función solo tiene una salida por entrada. Existe la noción de funciones de valores múltiples, pero no me preocuparía por eso por ahora.