¿Qué es lo observable al medir múltiples qubits en la base computacional?
En Nielsen y Chuang, Computación cuántica e información cuántica, se da la siguiente definición a una medición proyectiva:
Las mediciones proyectivas se describen mediante un observable $M$ :
$$M = \sum_m m P_m$$
con $P_m$ un proyector en el Eigenspace de $M$ con valor propio $m$.
Mi pregunta ahora es, cuando decimos que medimos un sistema de n qubits en la base computacional, ¿a qué observable nos referimos con precisión?
Para 1 qubit, sé que esto se refiere al observable Z:
$$Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = |0 \rangle \langle 0| - |1\rangle \langle 1|.$$
para n qubits, mi intuición sería:
\begin{align*} P_1 & = \underbrace{Z \otimes I \otimes ... \otimes I}_{n \textrm{ terms}}. \\ P_2 & = I \otimes Z \otimes ... \otimes I. \\ & ... \\ P_n & = I \otimes I \otimes ... \otimes Z. \end{align*}
con yo la matriz de identidad.
Entonces lo observable sería como en la definición. Es eso correcto ?
Respuestas
Tenga en cuenta que sus definiciones actuales de las matrices de proyección $\{P_{1},P_{2},...,P_{n}\}$ en realidad no son matrices de proyección, ya que $P_{i}^{2} = I \not= P_{i} \,\, \forall i$.
Lo que funciona 'mejor' es si tiene algo como:
\ begin {ecuación} \ begin {split} P_ {1} ^ {+ 1} = & | 0 \ rangle \ langle 0 | \ a veces yo \ a veces yo .... \ veces yo \\ P_ {1} ^ {- 1} = & | 1 \ rangle \ langle 1 | \ a veces yo \ a veces yo .... \ veces yo \\ P_ {2} ^ {+ 1} = & I \ a veces | 0 \ rangle \ langle 0 | \ otimes I .... \ otimes I \\ P_ {2} ^ {- 1} = & I \ otimes | 1 \ rangle \ langle 1 | \ a veces yo .... \ a veces yo \\ & \ vdots \\ P_ {n} ^ {+ 1} = & I \ a veces yo .... \ veces yo \ veces | 0 \ rangle \ langle 0 | \ \ P_ {n} ^ {- 1} = & I \ a veces yo .... \ a veces I \ a veces | 1 \ rangle \ langle 1 | \\ \ end {dividir} \ end {ecuación}
Sin embargo, un PVM debe tener $\sum_{i = 0}^{2n-1} P_{i} = I$, ¡que claramente no es el caso aquí! Se podría resolver esto renormalizando, pero hay otra cosa que falta aquí: estos proyectores en realidad no tienen en cuenta las correlaciones que puedan tener las medidas.
Por tanto, una mejor 'elección' son los operadores de medición $Z_{n} = Z \otimes Z \otimes Z ... \otimes Z$. Este operador tiene$2^{n}$ vectores propios:
$$Z_{n} = \sum_{i \in \{0,1\}^{n}} m_{i} |i\rangle\langle i|,$$ dónde $m_{i} = \pm 1$ basado en la paridad de la cadena de bits $i$. Como resultado de la medición, obtienes la cadena de bits$i$, asociado a la proyección sobre el estado $|i\rangle$.
Simplemente desea cualquier operador diagonal que tenga elementos diagonales distintos (lo que implicaría que cada elemento base se asigna a una salida distinta de la medición).
Una forma conveniente de denotar esto en términos de matrices de Pauli es $$ \sum_{i=1}^N2^{N-i-1}(1-Z_i) $$ Para un estado base $|x\rangle$ dónde $x$ es un número binario, el valor propio es la representación decimal de $x$(y por tanto distinto). Por supuesto, puede eliminar todos los términos de identidad, ya que solo dan un cambio en todos los valores propios.
Tenga en cuenta que si está considerando una medición proyectiva, no es necesario tratar con observables en absoluto. Una medición proyectiva se caracteriza por la base$\newcommand{\ket}[1]{\lvert #1\rangle}\{\ket{u_i}\}_i$ en el que está midiendo y, por lo tanto, las probabilidades de proyección asociadas $p_i\equiv \lvert\langle u_i\rvert \psi\rangle\rvert^2$ (cuando $\ket\psi$es el estado que se mide). No necesitas nada más.
Incorporar un observable a la imagen puede ser útil, dependiendo de las circunstancias y de lo que le interese exactamente. Pero recuerde que los observables se utilizan para calcular valores esperados . En otras palabras, usted define un observable adjuntando números a los posibles resultados de medición y luego calculando el valor esperado de estos números con respecto a la distribución de probabilidad.$p_i$.