¿Qué se entiende por lógica "débil"?
La Enciclopedia de Filosofía de Stanford, sv "Lógica modal" , afirma:
Las lógicas más familiares en la familia modal se construyen a partir de una lógica débil llamada K (después de Saul Kripke) ...
Las referencias a "debilidad" y "debilidad" son relativamente frecuentes en las preguntas planteadas en este sitio web, por ejemplo, lógica de segundo orden débil . Pero ni las respuestas dadas bajo ese título en particular ni las explicaciones de la debilidad como la dada bajo ¿Qué se entiende por un axioma que es "más débil" que otro? Explícame cuál podría ser la debilidad de "una lógica" o de algún otro sistema completo.
¿Qué se entiende por "lógica débil"?
Respuestas
Una lógica es más fuerte cuanto más teoremas demuestra y, como corolario, menos modelos tiene.
Cuantos más axiomas haya y más específico sea un axioma (en el sentido de que A es más específico que B si A implica B pero B no implica A), más fórmulas serán deducibles de estos axiomas: Una lógica es fuerte en el sentido de que logra probar muchas oraciones.
Por otro lado, cuanto más requiere una teoría para ser cierta, más difícil se vuelve para una estructura satisfacer todos los axiomas, por lo que habrá menos modelos: una lógica es fuerte en el sentido de que logra patear muchas estructuras y deja sólo unas pocas posibilidades de cómo podría verse el universo.
La lógica modal K tiene solo una regla y un axioma, o en términos de la relación de accesibilidad, no tiene ninguna restricción. Entonces, cualquier estructura modal puede satisfacer esta teoría, y no hay muchos teoremas que puedan derivarse de solo este axioma y lograr ser universalmente verdaderos en todas estas muchas estructuras, en este escenario más general.
Al agregar más axiomas, o restricciones a la relación de accesibilidad, se descartan más estructuras. Por lo tanto, se pueden probar más oraciones y lograr que sean verdaderas en todos esos pocos modelos, en esta teoría más específica. Por tanto, teorías como T, S4, S5 son más fuertes que K.
Nótese que esta definición se rompe si la lógica es inconsistente e incorpora la ley clásica de explosión: Entonces la lógica prueba cada enunciado y no tiene modelos, lo que según los criterios anteriores lo haría indefinidamente fuerte; pero esto no es lo que querríamos intuitivamente, porque esa lógica es trivial. (Aunque tenga en cuenta que este tratamiento clásico no es una necesidad: hay lógicas que no hacen explotar automáticamente las teorías inconsistentes; cf. lógica paraconsistente).