Rango de un grupo finito y sus representaciones
$\DeclareMathOperator\Rep{Rep}\DeclareMathOperator\rank{rank}$Dejar $G$ ser un grupo finito, y $C=\Rep(G)$ ser la categoría monoidal de representaciones complejas de dimensión finita de $G$. Como$C$ es finito y semisimple, se pueden obtener todas las representaciones de $\oplus$ y un conjunto finito $I$de representaciones irreductibles. Según la teoría clásica del carácter, hay una biyección (no canónica) entre$I$ y $\mathrm{Conj}(G)$. En este hilo, espero entender una biyección, si la hay, entre ambos lados con la consideración de$\otimes$.
Para ser más precisos, dejemos $V$ ser una fiel representación irreductible de $G$. Entonces cada representación ocurre como un submódulo de$V^{\otimes n}$ para algunos $n$(cf esto y esto ), y viceversa! Entonces decimos que$V$ en sí mismo genera $C$ debajo $\otimes$y finalización Cauchy. Sin embargo, no todos los grupos tienen una representación fiel irreductible. En la misma publicación , podemos ver que se trata en gran medida del "rango" del zócalo de$G$.
Para resumir, defina el rango, $\rank(G)$, para ser el número mínimo de elementos necesarios para generar $\mathrm{socle}(G)$bajo conjugación. Definir el rango,$\rank(C)$, para ser el número mínimo de elementos irreductibles necesarios para generar $C$ debajo $\otimes$y finalización Cauchy. Luego
$$ \rank(G) = 1 \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = 1 $$
Pregunta
¿Se generaliza esta equivalencia a
$$ \rank(G) = n \Leftrightarrow \rank(\Rep(G)) = n, $$
por cada número natural $n$?
( EDITAR Como señaló Qiaochu en el comentario, esto es cierto para los grupos abelianos finitos por la dualidad de Pontrjagin).
Respuestas
La respuesta a su pregunta es sí y es el teorema principal del artículo Žmudʹ, È. M. Sobre representaciones lineales isomorfas de grupos finitos. Estera. Sb. NS 38 (80) (1956), 417–430.
Se puede encontrar en el Teorema 5 en la página 245 de Caracteres de grupos finitos. Parte 1. por Berkovich y Žmudʹ. El teorema está redactado de una manera diferente, pero equivalente, y se demuestra de una manera muy similar al teorema de Gaschutz.
El teorema de Žmudʹ dice que $G$ tiene una fiel representación con $k$ constituyentes irreductibles si y sólo si el zócalo de $G$ se puede generar como un subgrupo normal como máximo $k$elementos. En particular, el menor número de generadores normales de$\mathrm{socle}(G)$ coincide con el menor número de componentes irreductibles en alguna representación fiel de $G$.
Basta ahora observar $\mathrm{rank}(C)$ es exactamente el número mínimo de componentes irreductibles en una representación fiel de $G$. De hecho, si$V$ es cualquier representación fiel, entonces el teorema de Burnside (o la generalización de R. Steinberg) muestra que cada módulo irreducible es un sumando directo en una potencia tensorial $V$ y así los componentes irreductibles de $V$ generar $C$bajo producto tensorial, sumas directas y tomando sumandos directos. Por otro lado, si$\rho_1,\ldots, \rho_k$ son representaciones irreductibles cuya suma directa no es fiel, entonces $\ker \rho_1\cap\dots\cap \ker \rho_k$ actúa como la identidad en todos los módulos en la subcategoría generada por los correspondientes módulos simples bajo las operaciones de suma directa, producto tensorial y tomando sumandos directos, por lo que estas representaciones irreductibles no pueden generar $C$.
Así $\mathrm{rank}(G)=\mathrm{rank}(C)$