Relación entre los componentes de la ruta de dos espacios topológicos con los componentes de la ruta de su producto.

Question

Dejar $X_1$ y $X_2$Ser espacios topológicos. Vamos a denotar por$\pi_0(X)$ el conjunto de componentes de ruta de $X$. Me gustaría saber si existe una relación entre$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$y $\pi_0(X_1\times X_2)$.

Ya he demostrado que $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. ¿Es verdadera la otra inclusión?

¡Gracias!

Answer 1

Lo primero que hay que tener en cuenta es que técnicamente no es una inclusión de conjunto, sino una inclusión natural. $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, ya que el producto de los espacios conectados con la ruta es la ruta conectada. Si$X=A \cup B$, con $A \cap B = \emptyset$, luego para cualquier conjunto $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$siendo este componente disoint. Así que si$Y = \bigcup_i Y_i$ y $X=\bigcup_j X_j$, dónde $X_j,Y_i$ son los componentes de la ruta (¡que están separados!), tenemos que $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Estos son claramente los componentes de la ruta de$X \times Y$, ya que si hay puntos de enlace de ruta en diferentes, habría una ruta de conexión $Y_i$ a $Y_i'$ o $X_j$ a $X_j'$. Entonces obtenemos una biyección natural (la inclusión es sobreyectiva)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ dónde $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.