Relaciones de polinomios y derivados bajo un cierto funcional

Dec 30 2020

Dejar $p(x)$ ser un polinomio de grado $n>2$, con raíces $x_1,x_2,\dots,x_n$(incluidas las multiplicidades). Dejar$m$ser un entero par positivo. Defina el siguiente mapeo$$V_m(p)=\sum_{1\leq i<j\leq n}(x_i-x_j)^m.$$

PREGUNTA. Para$\deg p(x)=n>2$ y $p'(x)$ su derivado, puedes expresar $$\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$$ como una función de $m$ y $n$ ¿solo?

Observación. Impulsado por las preguntas de Fedor, como muestra, calculé (no probé) que$$\frac{V_2(p)}{V_2(p')}=\frac{n^2}{(n-1)(n-2)}.$$

Respuestas

3 MaxAlekseyev Dec 31 2020 at 11:31

Aquí un código SageMath que proporciona una función V(m)informática$V_m(p)$ en términos de funciones simétricas elementales de $x_1,\dots,x_n$ (es decir, coeficientes de $p$).

Por ejemplo, si $p(x) = x^n - e_1 x^{n-1} + e_2 x^{n-2} + \dots$, luego $$V_2(p) = (n-1)e_1^2 - 2n e_2,$$ $$V_4(p) = (n-1) e_1^4 - 4n e_2 e_1^2 + (2n+12)e_2^2 + (4n-12) e_3 e_1 - 4n e_4,$$ y así.

De estas expresiones una prueba de $m=2$sigue al instante. Sin embargo, para mayores$m$ el radio $\frac{V_m(p)}{V_m(p')}$ no parece ser una función de $n$, que he probado computacionalmente $m$ hasta $20$.

3 FedorPetrov Dec 30 2020 at 05:38

Si esto fuera cierto $V_m(p)/V_m(p'')=(V_m(p)/V_m(p'))\times(V_m(p')/V_m(p''))$ también dependería solo de $m$ y $n=\deg p$y así sucesivamente, hasta que consigamos $V_m(p)/V_m(p^{(n-2)})$. Tenemos$$V_m(p^{(n-2)})=V_m\left(\frac{n!}2x^2-(n-1)!\left(\sum x_i\right)x+(n-2)!\sum_{i<j} x_ix_j\right)=c_{nm}\left((n-1)\left(\sum x_i\right)^2-2n\sum_{i<j}x_ix_j\right)^{m/2}=\tilde{c}_{nm} V_2(p)^{m/2}.$$ Entonces, si esto fuera cierto, tendríamos $V_m(p)=C_{nm} (V_2(p))^{m/2}$. Esto ya es falso para$n=m=4$: si todas las raíces de $p$ son 0 y 1, tenemos $V_4=V_2$, pero $V_2^2/V_4=V_2$ no es fijo.