Representaciones regulares de los grupos de Galois
Suponer$\mathcal{G}_k$es el grupo de Galois absoluto de un cuerpo numérico$k$.
$\mathcal{G}_k$es un grupo topológico, con topología profinita. ¿Cómo se le aplica la teoría del análisis armónico de representaciones regulares de grupos localmente compactos? ¿En qué espacios de función$\mathcal{G}_k$es significativo considerar; ¿Cómo (izquierda o derecha) las representaciones regulares de$\mathcal{G}_k$sobre ellos se descomponen en irreducibles; qué irreducibles ocurren; y ¿cuál es el análogo de la medida Plancherel?
Respuestas
El grupo absoluto de Galois (de cualquier campo) no solo es localmente compacto, es compacto. Esto hace que el análisis armónico del mismo quede completamente resuelto por la teoría de Peter-Well.
En particular, la representación regular es la suma directa de Hilbert de cada representación irreducible, las cuales tienen todas dimensión finita, cada una de ellas con multiplicidad igual a su dimensión.