Resolviendo$x^3-3x^2+4x-12=0$Sin Factoraje (Método de Cardano)
La pregunta: resolver$$x^3-3x^2+4x-12=0$$sin utilizar la factorización (¿método de Cardano?)
Así que primero tengo que deprimir la ecuación para hacer la sustitución$x=z+1$. Sabemos que esta es la sustitución porque debe ser de la forma$z-\frac{a_2}{3a_3}=z-\frac{-3}{3(1)}=z+1$. Entonces esto nos da
$$z^3+z-10=0$$
Por el método de cardano sabemos que$p=1$y$q=-10$. Así tenemos que
$$1=-3ab \qquad -10=-a^3-b^3$$
Resolver este sistema da (creo) para$a$da
$$a=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
$$b=\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
y entonces
$$z=a+b=\sqrt[3]{5\pm\frac{26\sqrt{3}}{9}}+\sqrt[3]{5\mp\frac{26\sqrt{3}}{9}}$$
He intentado reducir esto lo mejor que puedo, pero no consigo ninguna de las soluciones.
Si tuviera que factorizar la ecuación original, debería obtener
$$x^3-3x^2+4x-12=x^2(x-3)+4(x-3)=(x^2+4)(x-3) \Rightarrow x=3, \pm2i$$
Entonces, ¿dónde estoy cometiendo mi error?
Respuestas
Tus cálculos son correctos, pero es necesario completar el método de Cardano. Una vez que haya calculado$a$y$b$, las raíces de la cúbica deprimida son las siguientes:
$$ \displaystyle z_{1}=a+b \\ {\displaystyle z_{2}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} \\ {\displaystyle z_{3}=a\cdot \left(-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)+b\cdot \left(-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} $$
Ya que en tu caso$a=1+2/\sqrt{3}$y$b=1-2/\sqrt{3}$(ver más abajo para el procedimiento de anidación para obtener estos valores), las fórmulas dan
$$z_1=2 \\ z_2=-1+2 i \\ z_3=-1-2 i$$
Como$x=z+1$, tú tienes
$$x_1=3 \\ x_2=2 i \\ x_3=-2 i$$
EDITAR: como se indicó correctamente en los comentarios, un problema clave al aplicar el método de Cardano es que, en algunos casos, existe la necesidad de anidar algunas raíces cúbicas. Esto a veces puede ser bastante difícil. Algunos métodos se han informado previamente en los enlaces proporcionados en uno de los comentarios. Sugeriría un posible enfoque que a veces funciona bien para el radicando de la forma$J+K\sqrt{n}$. Los métodos incluyen estos pasos:
establecer la raíz cúbica en la forma$\sqrt[3]{J\pm K\sqrt{n}}$, con$J$y$K$números enteros;
suponga que el radicando$A=J\pm K\sqrt{n}$se puede expresar como$(j\pm k\sqrt{n})^3$, con$j$y$k$numeros racionales;
después de expandir$(j\pm k\sqrt{n})^3$y dividiendo sus términos en dos grupos cuyas sumas sean iguales a$J$y$K\sqrt{n}$, utilice las ecuaciones resultantes para determinar$j/k$. Este es el paso más largo, ya que requiere buscar las raíces racionales de una nueva ecuación cúbica utilizando el teorema de la raíz racional, que a veces puede ser complicado;
Finalmente, determine los valores de$j$y$k$.
Para ilustrar mejor este método, intentémoslo para el caso específico$\sqrt[3]{5+ \frac{26\sqrt{3}}{9}}$(El mismo método se puede usar para el caso en que el radicando es$5-\frac{26\sqrt{3}}{9}$). En primer lugar, tenemos que establecer el radicando de modo que$J$y$K$son enteros:
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac{1}{3} \sqrt[3]{135+ 78\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \sqrt[3]{A} $$
Ahora hagamos una hipótesis$A=(j+k\sqrt{3})^3$. Por lo tanto
$$A= j^3+3\sqrt{3}j^2k+ 9jk^2+3\sqrt{3}k^3\\ =j(j^2+9k^2)+3k(j^2+k^2)\sqrt{3}$$
para que podamos escribir
$$j(j^2+9k^2)=135\\ 3k(j^2+k^2)=78$$
Tenga en cuenta que$j$y$k$tienen que ser ambos positivos. De las dos ecuaciones anteriores tenemos
$$78\cdot j(j^2+9k^2) =135\cdot 3k(j^2+k^2)$$
Ahora tenemos que tratar de determinar$j/k$. Dividiendo ambos miembros para$k^3$y moviendo todos los términos a la LHS, tenemos
$$78\left(\frac{j}{k}\right)^3 - 405 \left(\frac{j}{k}\right)^2 + 702\left(\frac{j}{k}\right) - 405=0 $$
Ajuste$x=j/k$y simplificando los coeficientes, obtenemos
$$26 x^3-135 x^2+234x-135=0$$
Usando el teorema de la raíz racional, podemos buscar una raíz racional$p/q$para la última ecuación, donde el entero$p$divide$135=3^3\cdot 5$y el entero$q$divide$26=2\cdot 13$. Para acelerar la búsqueda de una raíz real, se puede observar que para$x=1$y$x=2$el LHS da$-10$y$1$, respectivamente, de modo que el valor de una raíz real debe estar entre$1$y$2$. Después de algunos intentos, obtenemos fácilmente$x=3/2$. Entonces la ecuación se puede reescribir como
$$\left(x-\frac 32\right)\left( 26x^2-96x+90\right)=0$$
de donde obtenemos directamente que las otras dos raíces no son reales.
Ya que$x=j/k=3/2$, finalmente podemos determinar$j$y$k$al hacer la sustitución$k=2j/3$en las ecuaciones iniciales. Por ejemplo, sustituyendo en la ecuación$(j^2+9k^2)=135$, tenemos
$$j\left[j^2+9\left(\frac{2j}{3}\right)^2\right]=135$$ $$5j^3=135$$
y recordando que$j$y$k$son positivos,
$$j=3$$
$$k=2$$
Ahora podemos concluir que
$$A=(3+2\sqrt{3})^3$$
de modo que la raíz cúbica inicial es
$$\sqrt[3]{5 + \frac{26\sqrt{3}}{9}}=\frac 13 \sqrt[3]{A}= \frac 13 \left(3+2\sqrt{3}\right)\\=1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Una vez más, debe señalarse que este método funciona sólo en algunos casos (incluso cuando el racional$j$y$k$existen, el paso limitante más importante es la búsqueda de la raíz racional$x$, que como ya se dijo puede ser muy difícil).
Además de sustituir hacia atrás$x=z+1$para completar el proceso de solución, no te equivocas. El casus irreducibilis se describe comúnmente para ecuaciones cúbicas con tres raíces reales, pero ocurre un problema similar cuando tienes una raíz racional (y en este caso no tiene que ser las tres raíces). En efecto, no puedes simplificar tu expresión radical para recuperar$z=2$analíticamente; debe adivinar la raíz racional de antemano (o hacer una suposición equivalente que involucre otra ecuación cúbica estructurada de manera similar, como se explica en otra respuesta).
Cuando pongo tu expresión para$z$en una calculadora obtengo$2.000000...$, que parece bastante cercano a su valor previsto de$z=2$.