¿Se pueden incrustar en un grupo todos los monoides cancelativos libres de inversión?
Un monoide es libre de invertir si$xy=1$ implica $x=y=1$ para todos $x,y$.
Pregunta: ¿Se pueden incrustar en un grupo todos los monoides cancelables sin reversibles?
Estoy bastante seguro de que un cociente del producto libre de tal monoide con su espejo (este es el monoide con los mismos elementos e identidad pero multiplicación inversa, es decir $x\cdot y=yx$) es el grupo "más general" en el que puede integrarse.
Esta es la versión no conmutativa de la construcción de los enteros a partir de los números naturales.
¿Aparece esto en alguna parte de la literatura como un problema / proposición / teorema?
Respuestas
No, no es cierto ni siquiera para los monoides generados de forma finita. Toma cualquier semigrupo$S$que es cancelable y no se inserta en un grupo (los primeros ejemplos fueron construidos por Malcev). Considere el monoide$S^1$ cual es $S\sqcup\{1\}$ con $1$ un (nuevo si $S$es un monoide) elemento neutro. Luego$S^1$es un monoide libre invertible que no se incrusta en un grupo. Es cancelable iff$S$ no tiene un elemento neutro.