Separación constante de separación de variables en PDE
Estoy trabajando en un libro de texto (Richard Haberman cuarta edición) sobre la ecuación del calor como ejemplo de ecuaciones diferenciales parciales aplicadas. No estoy familiarizado con el concepto de constante de separación y sigue apareciendo en las derivaciones. Perdóname, soy un estudiante de neurociencia, no de matemáticas.
Por ejemplo, estoy en el capítulo dos, estamos discutiendo la ecuación de Laplace para el flujo de calor en una superficie rectangular. nos dan esta ecuacion$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$
donde \lambda es el valor propio o constante de separación de este gradiente. Entiendo un valor propio en el contexto del álgebra lineal (que entiendo lo suficientemente bien) y estoy dispuesto a aceptar que las funciones son vectores infinitamente indexados, pero todavía estoy confundido sobre cómo puedo sacar esa constante de separación del aire. ¿Qué condiciones deben cumplirse para hacer esta suposición?
Editar: aquí está la página en mi texto de la que se tomó, tal vez haya información relevante que no estoy incluyendo.
Respuestas
El caso es que
$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$
es independiente de$y$, tiempo
$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$
es independiente de$x$. Así que estás en una situación en la que
$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$
Esto implica que$f, g$ambas son funciones constantes. Por ejemplo, elija$y=0$, después$f(x) = g(0)$para todos$x$. Asi que$f(x)$es una función constante. similares para$g$.
De este modo$f(x) = g(y) = \lambda$.