Sets de Borel versus sets de Baire

Question

(1) Suponga que tengo un espacio compacto de Hausdorff $X$con una base contable. ¿Por qué el álgebra de Borel$\mathcal{B}(X)$ (la $\sigma$-campo generado por los conjuntos abiertos) y el álgebra de Baire $\mathcal{B}a(X)$ (la $\sigma$-campo generado por el compacto $G_\delta$conjuntos) iguales? ¿Dónde puedo encontrar una prueba de esto?

(2) Supongamos ahora que $X$tiene una base incontable. En ese caso,$\mathcal{B}(X)$ y $\mathcal{B}a(X)$ya no coinciden, y sé que considerar los conjuntos de Baire evita algunas patologías de los conjuntos de Borel. ¿Cuáles son esas patologías? Además, ¿cuál sería un ejemplo de un conjunto de Borel que no es Baire?

Answer 1

Para ver en el primer caso que los grupos Baire y los grupos Borel coinciden, basta señalar que los grupos electrógenos de los grupos Baire (compactos $G_\delta$) son siempre Borel (compacto implica cerrado en espacios de Hausdorff) de modo que Baire $\subseteq$Borel fácilmente. Y si$O$ está abierto podemos escribirlo como una unión contable de compacto $G_\delta$ conjuntos, por lo que todos los conjuntos abiertos están en el Baire $\sigma$-field, por lo que todos los conjuntos de Borel también lo son. (El segundo compacto de Hausdorff contable implica perfectamente normal, etc.)

Para ver qué podría salir mal de forma más general, consulte $X=\omega_1 + 1$que es compacto Hausdorff pero no segundo contable. En eso,$\{\omega_1\}$ está cerrado (por lo que Borel) pero no Baire (Halmos demuestra en su teoría de la medida que un conjunto compacto es Baire si es $G_\delta$y este singleton no lo es). La medida Dieudonné sobre$X$es una medida de Borel que no es regular, pero sí lo es cuando trabajamos en conjuntos Baire. Véase el libro de Halmos o el extenso trabajo de Fremlin sobre la teoría de la medida topológica. Tomar conjuntos de Baire nos da conjuntos más que suficientes para hacer cosas de integración, etc. y proporciona medidas de mejor comportamiento en términos de propiedades de regularidad.