Si $A$ es noetheriano, entonces cada ideal fraccionario tiene la forma $x^{-1} \frak{a}$ por algún ideal $\frak{a}$ de $A$

Question

[Declaración] Si $A$ es noetheriano, entonces cada ideal fraccionario tiene la forma $x^{-1} \frak{a}$ por algún ideal $\frak{a}$ de $A$, $x \in A$.

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[Intento]

Encuentro esto en Atiyah Macdonald Algebra conmutativa, Capítulo 9, página 96, Ideales fraccionarios.

Ellos dicen si $A$ es noetheriano, entonces cada ideal fraccionario tiene la forma $x^{-1} \frak{a}$ por algún ideal $\frak{a}$ de $A$, $x \in A$ por lo que cada ideal fraccionario se genera de manera finita.

Está bien "por lo que el ideal fraccional se genera de manera finita" porque $A$ es noetherian tan ideal $\frak{a}$ se genera de forma finita.

Sin embargo, ¿cómo mostrar la declaración anterior?

Dejar $M$ser ideal fraccional. Entonces, por definición, hay$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ tal que $\frac{a}{b} M \subseteq A $, entonces $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

¿Cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Dejar $\{m_i\}_{i\in I}$ generar $M$ como un $A$-módulo. Entonces como$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ resulta que $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Por lo tanto, para cada $i,$ podemos escribir $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ con $b_i\in A.$ Esto implica que \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Pero ahora $\sum_{i\in I}b_i A$ es simplemente el ideal de $A$ generado por el $b_i,$ así que hemos terminado.