Si cada función continua de valor real definida en $K$ está acotado, entonces $K$ es compacto

Aug 15 2020

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta de la sección de análisis real :

  1. Dejar $K$ ser un subconjunto no vacío de $\mathbb R^n$ dónde $n > 1$. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

(Yo) si $K$ es compacta, entonces cada función continua de valor real definida en $K$ está ligado.

(II) Si cada función continua de valor real definida en $K$ está acotado, entonces $K$ es compacto.

(III) Si $K$ es compacto, entonces $K$ está conectado.

La prueba de (I) es estándar. Estoy tratando de ver (II) por contradicción.

¿Es posible enmarcar una prueba para (II) en estas líneas:

Suponer $K \subseteq \mathbb R^n$no es compacto. Entonces existe una tapa abierta$\mathcal C$que no tiene subtapa finita. Pero$f: K \to \mathbb R$es continuo. (...) Contradicción.

Respuestas

4 Mark Aug 15 2020 at 22:07

Un subconjunto de $\mathbb{R^n}$es compacto si y solo si está cerrado y acotado, este es un resultado estándar. Ahora, suponga que cada función continua de valor real definida en$K$está ligado. En particular, la función$f(x)=||x||$ está limitado a $K$, por lo tanto $K$ es un conjunto acotado.

Entonces solo tenemos que demostrar $K$está cerrado. Bueno, suponga que no lo es. Entonces hay un punto$y\in\overline{K}\setminus K$. Definir$f:K\to\mathbb{R}$ por $f(x)=\frac{1}{||x-y||}$. Esta es una función continua que no está limitada, una contradicción.

UmeshShankar Aug 15 2020 at 22:32

Solo me gustaría agregar que si el rango fuera el real dotado de la métrica acotada, $d(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$, entonces la afirmación no es verdadera para espacios métricos incluso si el $Dom(f)$ satisfecho la propiedad de Heine-Borel.