Si $f$ es continuo en $[0,1]$, Pruebalo $\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{1} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx=\frac{\pi}{2}f(0)$.

Question

La solución dada: $$\int_{0}^{1} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx=\int_{0}^{n^{-\frac{1}{3}}} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx+\int_{n^{-\frac{1}{3}}}^{1} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx$$bien, mi primera pregunta aquí: ¿por qué el$n^{-1/3}$? $$|\int_{n^{-\frac{1}{3}}}^{1} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx|\leq \int_{n^{-\frac{1}{3}}}^{1} |\frac{nf(x)}{1+n^2x^2}|dx \leq \frac{nM}{1+n^{1+1/3}}$$ donde M es el máximo global de $|f|$. ¿Cómo se convirtió el término medio en el más a la derecha? ¿Cómo se usa aquí el teorema del valor medio de las integrales? que pasa con el$1+1/3$?

Dado que el término más a la derecha tiende a $0$ como $n$ tiende a infinito, por el teorema de compresión tenemos el término más a la izquierda tiende a $0$también. Ya que$\frac{n}{1+n^2x^2}$ no cambia el inicio de sesión $[0,1]$, entonces existe $c\in[0,n^{-1/3}]$ tal que $$\int_{0}^{n^{-\frac{1}{3}}} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx=f(c)\int_{0}^{n^{-\frac{1}{3}}} \frac{n}{1+n^2x^2}dx=f(c)\tan^{-1}n^{2/3}$$ Ya que $c\in[0,n^{-1/3}]$, $n\to\infty$ implica $c\to0$ y $\tan^{-1}n^{2/3}\to \frac{\pi}{2}$ y entonces $\int_{0}^{n^{-\frac{1}{3}}} \frac{nf(x)}{1+n^2x^2}dx\to\frac{\pi}{2}f(0)$

Entonces la respuesta final es $0+\frac{\pi}{2}f(0)=\frac{\pi}{2}f(0)$

¡He resaltado mis preguntas! ¡Gracias por cualquier consejo dado!

Answer 1

los $n^{-1/3}$no es importante. Lo importante es entrar en un término de error que vaya a$0$.

Tenga en cuenta que para grandes $n$, $ \frac{n}{1 + n^2x^2} $ es grande si $n^2 x^2 \ll n,$ pero es pequeño si $n^2x^2 \gg n$. El segundo caso ocurre siempre que$x \gg n^{-1/2}$. Entonces, toma cualquier$\delta > 0$y mira $ \int_{n^{-1/2 + \delta}}^1 \frac{n f(x)}{1 + n^2 x^2}\,\mathrm{d}x.$ Darse cuenta de $f$ está limitado, y sabemos que $n/(1+n^2x^2)$es pequeño en esta región. Esto significa que estamos integrando algo pequeño en una región delimitada y esperamos que sea pequeño.

Poniendo esta estrategia en práctica, \begin{align} \left| \int_{n^{-1/2 + \delta}}^1 \frac{n f(x)}{1 + n^2 x^2} \,\mathrm{d}x\right| &\overset{1}\le \int_{n^{-1/2 + \delta}}^1 \left|\frac{n f(x)}{1 + n^2 x^2}\right| \,\mathrm{d}x\\ &\overset{2}\le \int_{n^{-1/2 +\delta}}^1 \frac{nM}{1 + n^2 x^2} \,\mathrm{d}x\\ &\overset{3}\le M \int_{n^{-1/2 +\delta}}^1\max_{x \in [n^{-1/2 + \delta}, 1]} \frac{n}{1 + n^2 x^2} \,\mathrm{d}x \\ &\overset{4}\le M \cdot 1 \cdot \frac{n}{1 + n^2 n^{-1 +2\delta}} = \frac{Mn}{1 + n^{1 + 2\delta}},\end{align} y este límite superior se desvanece con $n$.

La justificación de estas desigualdades $2$ es eso $|f(x)| \le M,$ tan abosulte valor de $|nf/(1 + n^2 x^2)|$está limitado por el nuevo integrando. Para 3., estoy usando una idea similar: el integrando está limitado por su máximo en el dominio relevante. Para 4, estoy integrando una constante (que es el valor del máximo) sobre un dominio de tamaño menor que$1$. En particular, tenga en cuenta que no he usado el teorema del valor medio anterior en absoluto. Dicho esto, puedes usarlo si lo prefieres, trátalo como un ejercicio. Tenga cuidado de que el MVT requiera que la función en cuestión sea continua.

En la solución que ha publicado, utilizan $\delta = 1/6,$ y $-1/2 + \delta = -1/3,$ y $1+ 2\delta = 1+1/3.$

Todo el argumento se basaba en obtener un límite superior que llega a cero con $n$. Si hubiéramos elegido un$\delta <0,$entonces esto no habría sucedido. Pero cualquiera$\delta > 0$está bien (sin embargo, ver más abajo). Por cierto, otras cosas también podrían haber funcionado, podríamos haber integrado desde$n^{-1/2} \log n$ a $1$y surgiría la misma conclusión. ¿Ves por qué? ¿Qué más podrías usar?

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Solo para completar, en realidad no está bien elegir ninguna $\delta > 0.$ De hecho, para el resto del argumento, tenemos $$ \int_0^{n^{-1/2 + \delta}} \frac{n f(x)}{1 + n^2 x^2}\,\mathrm{d}x = f(c_{n,\delta}) \arctan(n \cdot n^{-1/2 + \delta}) = f(c_{n,\delta}) \arctan(n^{1/2 + \delta}).$$ Ahora, para aplicar el argumento de la solución dada, necesitamos que $c_{n,\delta} \to 0.$ En la pregunta, esto funciona porque $0 \le c \le n^{-1/3}$ y el límite superior va a $0$. Para nosotros tenemos$0\le c \le n^{-1/2 + \delta}$. Para que este límite superior vaya a$0$, tendríamos que asegurarnos de que $\delta < 1/2.$

Entonces, para que todo el argumento funcione, debemos elegir algunos $\delta \in (0, 1/2).$ Como se señaló anteriormente, la solución presentada utiliza $1/6,$ que se encuentra en este rango.

Answer 2

Primero para su pregunta resaltada: tenga en cuenta que $$ \newcommand{\abs}[1]{\left\vert #1 \right\vert} \newcommand\rme{\mathrm e} \newcommand\imu{\mathrm i} \newcommand\diff{\,\mathrm d} \DeclareMathOperator\sgn{sgn} \renewcommand \epsilon \varepsilon \newcommand\trans{^{\mathsf T}} \newcommand\F {\mathbb F} \newcommand\Z{\mathbb Z} \newcommand\R{\Bbb R} \newcommand \N {\Bbb N} \renewcommand\geq\geqslant \renewcommand\leq\leqslant \newcommand\bm\boldsymbol \newcommand\stpf\blacktriangleleft \newcommand\qed\blacktriangleright \newcommand\upint[2][a]{\bar {\phantom \int} \mspace{-21mu}{\int_{#1}^{#2}}} \frac {n \abs f(x)} {1 + n^2 x^2} \leq \frac {nM} {1 + n^2 n^{-1/3 \times 2}} = \frac {nM} {1 + n^{4/3}} = \frac {nM} {1 + n^{1 + 1/3}}, $$ dónde $x \in [n^{-1/3}, 1]$. Ahora integre sobre este intervalo,$$ \int_{n^{-1/3}}^ 1 \frac {n \abs f(x)} {1 + n^2 x^2} \diff x\leqslant \int_{n^{-1/3}}^1 \frac {nM} {1 + n^{1 +1/3}} \diff x = (1 - n^{-1/3}) \frac {nM} {1 + n^{1+ 1/3}} \color{red}{\leq} 1 \cdot \frac {nM} {1 + n^{1+ 1/3}}, $$ dónde $\color{red}\leq$ viene de $(1 - n^{-1/3}) \leq 1$.

Por la solucion $n^{-1/3}$parece complicado. Así que probamos con otra explicación, que desafortunadamente puede requerir algún conocimiento sobre límites superiores / inferiores.

A la primera ojeada, es posible que queramos limitarnos a $\int$, pero en general no podemos. Pero intuitivamente, podríamos sentir que por$x$ lo suficientemente cerca para $1$, la $n^2$ parte en el denominador dominaría, ya que $f$ está acotado, y $n f$ es por supuesto "más débil" que $n^2$. El punto problemático es$0$. Para que podamos elegir cualquier fijo temporalmente$\delta > 0$y divida el intervalo en dos partes. Una parte podría estimarse así:

\begin{align*} &\quad \abs {\int_\delta^1 \frac {nf (x) \diff x }{1 + n^2 x^2} } \\ &\leq \int_\delta ^1 \frac {n \abs f (x)}{ 1+ n^2x^2 }\diff x \\ &\leq \int_\delta^1 \frac {nM}{1 + n^2 \delta^2} \\ &= (1 - \delta) \frac {nM} {1 + n^2 \delta^2}\leq \frac {nM}{1 + n^2 \delta^2}. \end{align*}

Para el otro, $[0, \delta]$, usamos la continuidad y notamos que $$ \abs {\int_0^{\delta} \frac {n (f(x) - f(0))}{1 + n^2 x^2} \diff x} \leq \max_{0 \leq x \leq \delta} \abs {f(x) - f(0)}\int_0^\delta \frac {\diff (nx)}{ 1 + (nx)^2} =: N(\delta) \arctan (n \delta). $$ Si existe el límite de ambas partes, entonces $$ \lim_{n \to \infty} \abs {\int_\delta^1 \frac {nf (x) \diff x }{1 + n^2 x^2} } \leq \lim_{n \to \infty} \frac {nM}{1 + n^2 \delta^2} = 0, $$ y $$ \lim_{n \to \infty} \abs {\int_0^{\delta} \frac {n (f(x) - f(0))}{1 + n^2 x^2} \diff x} \leq \lim_{n \to \infty} N(\delta) \arctan (n \delta) = \frac \pi 2 N(\delta), $$ y si dejamos $\delta \to 0^+$, entonces podemos esperar que el límite original sea $\lim_n \int_0^1 n f(0)\diff x /(1 +n^2 x^2) = \pi f(0)/2 $, ya que $N(\delta) \to 0$ según la continuidad de $f$ a $0$. Para que este argumento funcione, encontraremos algunos$\delta(n)$que varía como$n \to \infty$ tal que

1. $\delta (n) \to 0$ como $n \to \infty$;
2. $1 + n ^2 \delta (n)^2$ "domina" como $n \to \infty$, es decir $nM / (1 + n ^2 \delta(n)^2)\to 0$.

Fácil de ver un candidato calificado podría ser $\bm {n^{-1/3}}$. Por tanto, la solución funciona. Por supuesto, podríamos elegir otras formas, pero para mayor eficiencia, podríamos elegir algunas simples.

De hecho, podríamos escribir lo siguiente usando límites superiores: \begin{align*} &\quad \varlimsup_n \abs {\int_0^1 \frac {n (f(x) - f(0))}{1 + n^2 x^2} \diff x }\\ &\leq \varlimsup_n \int_0^\delta \abs {\frac {n (f(x) - f(0))}{1 + n^2 x^2} \diff x}+ \varlimsup_n \int_\delta^1 \abs { \frac {n (f(x) - f(0))}{1 + n^2 x^2} \diff x}\\ &\leq \varlimsup_n \frac{n \cdot 2M} {1 + n^2 \delta^2} + \varlimsup_n N(\delta) \arctan (n \delta) \\ &= 0 + \frac {\pi}2 N(\delta)\\ &\xrightarrow {\delta\to 0^+} 0, \end{align*} que es una prueba estándar del límite.