Si $f$ es continuo entonces $f$ es uniformemente continuo si $|f|$ es uniformemente continuo
Si $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ es continuo entonces $f$ es uniformemente continuo si $|f|$ es uniformemente continuo.
Un mapa $f$ desde un espacio métrico $M=(M,d)$ a un espacio métrico $N=(N,\rho)$ se dice que es uniformemente continuo si para cada $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ tal que $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ cuando $x,y \in M$ satisfacer $d(x,y)<\delta$.
Claramente, si $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ es uniformemente continuo entonces $|f|$ es uniformemente continuo como $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$pero me está costando mucho mostrar la parte inversa. En la región donde$f$ es siempre positivo o negativo, no tendremos ningún problema más que cómo tratar los puntos donde $f$está cambiando de signo. Si los ceros de$f$ son finitos, entonces también podemos tomar un mínimo de todos $\delta$sy concluya el resultado. ¿Qué pasará si ceros de$f$ son infinitos?
Respuestas
Como se mencionó en los comentarios, la prueba proporcionada aquí puede modificarse fácilmente para que funcione para la totalidad de$\mathbb{R}^n$.
Ya que $\lvert f \rvert$ es uniformemente continuo, existe un $\delta > 0$ tal que \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Tenga en cuenta que si $f(x)f(y) > 0$, entonces \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} que es menor que $\epsilon/2$ cuando $d(x,y) \leq \delta$. Como era de esperar, este caso fue bastante trivial. Ahora dirigimos nuestra atención al caso donde$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Dado que siempre sostiene que\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} basta con demostrar que $\star$ implica la existencia de un $z$ tal que $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ y $f(z) = 0$. Porque entonces\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} cuando $d(x,y) \leq \delta$. Ya que$f$ es continua, la existencia de un adecuado $z$ se desprende de la continuidad de $f$ y $\star$(como consecuencia del Teorema del valor intermedio, ver, por ejemplo, aquí ).