Si $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ son continuos y convergen para $f$ puntual, debe $f$ser Riemann Integrable? [duplicar]

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta

¿Verdadero o falso? Si$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ es una secuencia de funciones continuas que converge a $f$ puntualmente, entonces $f$ ¿Es Riemann integrable y $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Con la ayuda de los comentarios encontré este contraejemplo, pero espero que haya uno más simple.

Si reemplazamos las integrales de Riemann por integrales de Lebesgue, entonces el resultado es verdadero según el Teorema de convergencia dominada. Esto implica que si$f$ es Riemann Integrable, entonces de hecho $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Entonces, al buscar un contraejemplo, deberíamos intentar encontrar uno donde $f$ no es integrable de Riemann.

Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

El contraejemplo clásico es el siguiente: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Dejar$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (que existe porque es el límite de una secuencia decreciente positiva), entonces existe $n_0$ tal que $f_{n_0}$ no es integrable de Riemann, lo que constituye un contraejemplo porque $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ es Riemann-integrable para todos $m$, ya sea el $f_n$ son todos integrables de Riemann, pero desde $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ no es integrable por Riemann y $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, entonces este es un contraejemplo.