Si $g$ es una función continua y creciente de $x$, Pruebalo $g(X)$ es una variable aleatoria.
El ejercicio 2.3.12 de Grimmet Stirzaker Probability and Random processespregunta lo siguiente. Me gustaría, si ustedes me pueden ayudar a verificar mi solución.
Dejar $X$ ser una variable aleatoria y $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser continuo y estrictamente creciente. Muestra esa$Y = g(X)$ es una variable aleatoria.
Mi solución.
Como $g$es una función que aumenta monótonamente, es inyectiva (uno a uno). Es decir, si$x_1 < x_2$, luego $g(x_1) < g(x_2)$. Por lo tanto,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$.
No estoy seguro de cómo deducir que $g$ es sobreyectiva (sobre).
Si $g$ es biyectiva, la función inversa $g^{-1}$ existe y está bien definido.
Por lo tanto, el conjunto
\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}
desde $X$es una variable aleatoria. Como consecuencia,$g(X)$ es una variable aleatoria.
Respuestas
La continuidad y la estricta monotonicidad de $g$son irrelevantes. Lo que se requiere es que$g$es una función de Borel. Tenga en cuenta que cualquiera de las dos condiciones "$g$ es continuo ","$g$ es monótona creciente "implica que $g$ es una función de Borel.
Suponer que $g$es una función de Borel. Dejar$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. Observa eso$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ porque $g^{-1}(A)$es un set de Borel. Por eso$g(X)$ es $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-medible, es decir, una variable aleatoria.