Si $p$ es un primo impar con $p ≡ 3(\mod 4)$, luego $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Question

Demuestre si es cierto. Da un contraejemplo si es falso. Si$p$ es un primo impar con $p ≡ 3(\mod 4)$, luego $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Prueba. $p ≡ 3(\mod 4)$ implica $4|p-3$. El teorema de Wilson dice: si p es primo, entonces$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ o equivalente $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Esto último implica $$p|(p-1)!+1.$$

No estoy seguro de a dónde ir a partir de ahí, o si ese es el enfoque correcto para empezar.

Answer 1

Por el teorema de Wilson, sabemos que $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Por tanto, basta con probar que $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

que es equivalente a probar que $\frac{p-1}2$ es un numero impar

Si $p = 4k+3$, luego $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ que es un número impar.