Si $p$ es un primo impar y $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, entonces $\alpha^2$ no es un módulo raíz primitivo $p$.

Aug 16 2020

Demuestre que es cierto o dé un contraejemplo si es falso.

Si $p$ es un primo impar y $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, entonces $\alpha^2$ no es un módulo raíz primitivo $p$.

Intentaba demostrar que era cierto, pero no estoy seguro de por dónde empezar. Estaba pensando en usar el pequeño teorema de Fermat: si$p$ es un primo y $\alpha\in\Bbb Z/p\Bbb Z^*$, entonces $\alpha^{(p-1)}=1$ pero, ¿cómo se da el salto de FLT a raíces primitivas? Una raíz primitiva se define como un elemento.$\gamma=\phi(m)$ pero ¿cómo se relaciona eso con este problema?

Respuestas

2 Yesit'sme Aug 16 2020 at 11:42

$(a^2)^{\frac{p-1}{2}}=a^{p-1}=1 \pmod{p}$. El último paso sigue a FLT.

Por tanto, el orden de $a^2$ modificación $p$ es como máximo $\frac{p-1}{2}$, por lo que no puede ser una raíz primitiva por definición.