Si $z \in\mathbb { C } $ es un entero algebraico entonces $\Pi_z \in\mathbb {Z} [X] $. [duplicar]
Un numero complejo $z $ se llama un número algebraico si hay $P \in\mathbb {Q }[X]\setminus\{0\} $ tal que $P (z) = 0$.
Nosotros decimos eso $x\in\mathbb {C} $ es un entero algebraico algebraico entero si existe un polinomio mónico $P\in\mathbb {Z} [X] $ unitario tal que $P (x) = 0$.
arreglamos un número algebraico $z $. El conjunto$$ I (z) = \{P \in\mathbb {Q}[X]\ :P (z) = 0\} $$ es un ideal de $\mathbb {Q}[X]$. Por tanto, existe un polinomio monico único$\Pi_z \in\mathbb {Q}[X]$, llamado polinomio mínimo de$z$, tal que $$I (z) = \{\Pi_z Q :Q \in\mathbb {Q}[X]\}.$$
Admitimos los siguientes resultados:
(1) El conjunto de enteros algebraicos es un subanillo de$\mathbb {C} $.
(2) Si$x \in\mathbb {Q}$ es un entero algebraico, entonces $x\in\mathbb {Z}$.
Problema
Demuestra que si $z\in\mathbb { C } $ es un entero algebraico entonces $\Pi_z \in\mathbb {Z} [X] $.
Una idea por favor
Respuestas
En realidad, hay una prueba simple que no incluye algunas consideraciones no triviales sobre $\mathbb{Z}[X]$ dado lo que admites.
Las raices de $\Pi_z$ son todos enteros algebraicos (porque $\Pi_z$divide un polinomio monico con coeficientes integrales). Entonces los coeficientes de$\Pi_z$(por las relaciones de Vieta) son también enteros algebraicos y números racionales. Entonces son números enteros.
Fijar un entero algebraico distinto de cero $k$.
Demuestra que hay algo monic $p\in \mathbf Z[x]$ que es irreducible (en $\mathbf Z[x]$) y tal que $p(k)=0$ (para ver esto, observe que un factor propio de un polinomio monico sobre $\mathbf Z[x]$ también es mónica, hasta el signo, de menor grado, y usa inducción con respecto al grado).
Luego por Gauss, se sigue que $p$ es irreductible en $\mathbf Q[x]$, entonces $p=\Pi_k$.