Sobre el teorema de Darboux

Aug 16 2020

Lo que aprendí dice que el teorema de Darboux se puede usar para probar una función que no es continua y también se puede cumplir con el teorema del valor intermedio. ¿Está bien? Pero, ¿por qué no hablamos de ese tema cuando demostramos este teorema? ¿No es esto tan importante? Por favor responda... p.d. Lo siento, no soy bueno en inglés... y soy estudiante de secundaria en Corea. ¿Puedes explicar más fácil que otros?

Respuestas

2 4amvim Aug 16 2020 at 20:30

Considere cualquier función diferenciable$f(x)$.

Entonces, en el caso especial donde$f(x)$es continuamente diferenciable, entonces por supuesto la derivada$f'(x)$es. continuo, y por lo tanto, por el teorema del valor intermedio (IVT), alcanzará todos los valores entre sus límites. Para reiterar, en este caso especial donde nuestra función es continuamente diferenciable , sí, el teorema de Darboux es simplemente la IVT habitual.

Ahora bien, en el caso más general, donde la continuidad de$f'(x)$no está garantizado, no podemos aplicar nuestro IVT habitual. Pero porque$f(x)$es derivable, todavía podemos aplicar el teorema de Darboux, que nos da lo que IVT habría dado si fuera aplicable. La diferencia, por supuesto, es que la prueba de IVT no habría funcionado porque su hipótesis no se cumplió, pero la prueba de Darboux funciona porque tiene requisitos diferentes a los de IVT.

Finalmente, para resumir, si tiene una función y sabe que es una derivada de alguna función, puede obtener el resultado de IVT incluso si esta función en sí misma no es continua, gracias a Darboux. Por supuesto, en caso de que la función sea continua, puede usar directamente IVT sin importar si esta función es un derivado de alguna función o no.

PD Mis disculpas por los despidos, pero quería asegurarme de superar la brecha lingüística.