Sobre el vínculo entre homología y homotopía
En el último semestre aprendí álgebra homológica y teoría de categorías superiores / teoría de homotopía.
Pero estoy un poco confundido cuando trato de entender realmente el vínculo entre los dos temas (esta no es realmente mi zona de confort ...)
Por lo tanto, trato de escribir (una especie de autoejercicio) un texto sobre álgebra homológica y teoría de la homotopía, pero realmente presento desde $0$ los dos sujetos.
Me gustaría introducir los siguientes conceptos en álgebra homológica:
- complejo de cadena
1$\frac{1}{2}$. Grupo Grothendieck
homotopía de un complejo
categoría derivada
estructuras en t
Y también me gustaría introducir los siguientes conceptos en la teoría de la homotopía:
Categorías de modelos
Categoría de homotopía de una categoría de modelo
Derivación en el establecimiento de categorías de modelos
Cuasi-categorías
4.5. objeto simplicial en una categoría y homotopía en este contexto
- Equivalencia Dold-Kan
Ahora empieza la parte "difícil":
¿Cómo organizar estos conceptos de una buena manera? Para 1-3 (ya sea en homología / homotopía) creo que sé cómo hacer eso, pero para 3-5, especialmente en homotopía, no tengo ni idea ...
Esto da lugar a mis preguntas:
- Cómo motivar categorías infinitas, o más generalmente teoría de homotopía / teoría de categorías superiores pero desde un punto de vista homológico. Leí en alguna parte una quizás buena idea:
Para una categoría abeliana $\mathcal{A}$, la categoría derivada $\mathcal{D(A)}$ no está definido por una propiedad universal.
Leí en alguna parte que, en cierto sentido, la teoría de categorías superiores resuelve el problema. Está bien, pero ¿por qué? Y, ¿necesitamos cuasi categorías, o las categorías de modelos serían suficientes para hacer eso?
- Si alguien tiene alguna idea para organizar este texto, estoy abierto a cualquier sugerencia.
Estaré agradecido si alguien me pudiera dar algunas pistas para hacer este ejercicio personal.
Respuestas
Animo al OP a leer los escritos de otros sobre este tema, antes de intentar escribir algo desde cero. Asistí a conferencias en OSU donde Aaron Mazel-Gee motivó$\infty$-categorías muy parecidas a las que sugiere el OP en la Pregunta 1. Parece que algunas de las ideas de esas conferencias han aparecido aquí .
En cuanto a la Pregunta 2, el libro de Weibel, Introducción al álgebra homológica, hace un gran trabajo con la primera colección de temas, luego el libro de Hovey (o Dwyer-Spalinski ) da los primeros tres elementos de la segunda colección, y los libros de Lurie te dan todo lo que podrías desear. sobre las cuasicategorías y su conexión con las categorías modelo y el álgebra homológica (en serio, las introducciones que escribe para cada capítulo son fenomenales). En cuanto a la correspondencia Dold-Kan, aunque estoy seguro de que aparece en algún lugar de los escritos de Lurie, la exposición más clara que he leído es la de Akhil Mathew.
Estoy de acuerdo con Arthur en que, si tuvieras una mentalidad más categórica, podrías invertir el orden (por ejemplo, comenzando con Lurie, si ya conoces los conjuntos simpliciales). Para mí, prefiero comenzar con algo concreto y luego construir la abstracción sobre eso, poco a poco, como sugiere este orden. El libro de Weibel realmente está escrito de tal manera que facilita el paso a categorías trianguladas, categorías modelo y cuasi-categorías. Pero comienza en un lugar muy accesible para los algebristas.
Primero responderé a su segunda pregunta. Hasta cierto punto, el orden que elija dependerá en gran medida de si desea liderar con ejemplos o con total abstracción. Como ejemplo, puede introducir resoluciones proyectivas y la categoría derivada utilizando solo hechos sobre$\text{Ch}(\mathcal{A})$ y el cálculo de fracciones de Ore (ver el libro de Weibel para un tratamiento como este) o puede introducir categorías modelo, probar sus propiedades, probar que $\text{Ch}(\mathcal{A})$admite una estructura de modelo proyectivo usando un argumento de objeto pequeño (vea esta página de nLab para un esquema del argumento), y así llegar a una descripción de la categoría derivada como una categoría de homotopía.
Personalmente, creo que la segunda explicación sería innecesariamente complicada y tendría más sentido introducir primero algo de álgebra homológica, sobre todo porque de esa manera se puede introducir la estructura del modelo proyectivo como un ejemplo de una estructura de modelo, la resolución proyectiva como un ejemplo de un modelo. resolución cofibrante, categoría derivada como ejemplo de una categoría de homotopía, etcétera; Estos conceptos pueden ser difíciles de intuir sin varios ejemplos. Pero ambos pedidos están disponibles para usted.
Sobre la cuestión de las categorías y cuasicategorías del modelo: las categorías del modelo pueden verse como "presentaciones" para las cuasicategorías (consulte esta página de nLab para obtener esta perspectiva, y los Apéndices A.2 y A.3 de la Teoría del Topos Superior de Lurie para un desarrollo de la teoría de categorías de modelos con este objetivo explícito). Las cuasicategorías tienen varias ventajas sobre las categorías del modelo: por ejemplo, hay una cuasicategoría de functores de cualquier cuasicategoría a otra, mientras que la declaración análoga no es válida para las categorías del modelo. Sin embargo, las estructuras modelo están muy involucradas en muchas de las pruebas fundamentales con respecto a las cuasicategorías, por lo que no hay dos formas de ordenar estos temas.
Sobre su primera pregunta: personalmente, no creo que el álgebra homológica sea una motivación suficiente para introducir categorías modelo o categorías infinitas. Como se planteó en los comentarios, la categoría triangulada$\mathcal{D}(\mathcal{A})$no permite conos functoriales y esto es molesto en algunas aplicaciones, pero la mayoría de las personas se las arreglaron con la aplicación del álgebra homológica durante décadas antes de que la gente comenzara a hablar sobre dg y cuasicategorías. Un orden más fuerte para su texto, en mi opinión, sería introducir conceptos básicos del álgebra homológica, luego usarlos como ejemplos cuando comience a hablar de categorías modelo y finalmente cuasicategorías.
Sobre la cuestión de una propiedad universal para $\mathcal{D}(\mathcal{A})$usando categorías infinitas, puede que encuentre útil la sección 1.3.3 de Álgebra superior de Lurie. Sin embargo, tenga en cuenta que$\mathcal{D}(\mathcal{A})$ ciertamente tiene una propiedad universal en el lenguaje 1-categórico ordinario: es la localización de $\text{Ch}(\mathcal{A})$ en los cuasi-isomorfismos.