¿Son las funciones integrables de Riemann el límite puntual de las funciones continuas?

Aug 21 2020

Dada una función $f$ que es Riemann integrable en $[a,b]$, ¿existe una secuencia de funciones continuas $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ que converge a $f$ puntual en todas partes $[a,b]$?

Si solo necesito puntualidad en casi todas partes, esto se deduce del hecho de que las funciones continuas son densas en $L^1[a,b]$y la convergencia de normas produce una subsecuencia que converge ae Este es un ejercicio de Krantz, Real Analysis and Foundations (4ª ed., p. 153); No he podido probarlo, y cuando le pregunté al autor, tampoco pudo proporcionar una prueba. Sin embargo, tampoco puedo encontrar un contraejemplo.

Respuestas

2 GEdgar Aug 21 2020 at 01:10

¿En todas partes? No. Casi en todas partes, sí.

Se dice que un límite puntual de una secuencia de funciones continuas es una función de la clase Baire$1$. Baire demostró muchas propiedades de tales funciones. En particular, si$E$ es un conjunto perfecto no vacío, entonces la restricción de $f$ a $E$ tiene un punto de continuidad.

Considere la siguiente función $f$. Dejar$[a,b] = [0,1]$. Dejar$C$ser el conjunto de Cantor de tercios medios. Entonces$C$es un conjunto cerrado de medida cero. Definir$f: [0,1] \to \mathbb R$ como sigue.
$\bullet \;f(x) = 0$ en $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 0$ en los puntos finales de los intervalos abiertos en $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 1$ en otros lugares, incontables puntos restantes de $C$.

Primero nota que $f$ es continuo en cada punto de $[0,1]\setminus C$, un conjunto de medidas $1$, entonces $f$ es Riemann integrable.

Pero también tenga en cuenta que la restricción de $f$ al conjunto perfecto no vacío $C$ no tiene punto de continuidad: ambos $\{x \in C : f(x) = 0\}$ y $\{x \in C : f(x) = 1\}$ son densos en $C$. Entonces$f$ no es de la clase Baire $1$.