¿Son las funciones integrables de Riemann el límite puntual de las funciones continuas?
Dada una función $f$ que es Riemann integrable en $[a,b]$, ¿existe una secuencia de funciones continuas $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ que converge a $f$ puntual en todas partes $[a,b]$?
Si solo necesito puntualidad en casi todas partes, esto se deduce del hecho de que las funciones continuas son densas en $L^1[a,b]$y la convergencia de normas produce una subsecuencia que converge ae Este es un ejercicio de Krantz, Real Analysis and Foundations (4ª ed., p. 153); No he podido probarlo, y cuando le pregunté al autor, tampoco pudo proporcionar una prueba. Sin embargo, tampoco puedo encontrar un contraejemplo.
Respuestas
¿En todas partes? No. Casi en todas partes, sí.
Se dice que un límite puntual de una secuencia de funciones continuas es una función de la clase Baire$1$. Baire demostró muchas propiedades de tales funciones. En particular, si$E$ es un conjunto perfecto no vacío, entonces la restricción de $f$ a $E$ tiene un punto de continuidad.
Considere la siguiente función $f$. Dejar$[a,b] = [0,1]$. Dejar$C$ser el conjunto de Cantor de tercios medios. Entonces$C$es un conjunto cerrado de medida cero. Definir$f: [0,1] \to \mathbb R$ como sigue.
$\bullet \;f(x) = 0$ en $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 0$ en los puntos finales de los intervalos abiertos en $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 1$ en otros lugares, incontables puntos restantes de $C$.
Primero nota que $f$ es continuo en cada punto de $[0,1]\setminus C$, un conjunto de medidas $1$, entonces $f$ es Riemann integrable.
Pero también tenga en cuenta que la restricción de $f$ al conjunto perfecto no vacío $C$ no tiene punto de continuidad: ambos $\{x \in C : f(x) = 0\}$ y $\{x \in C : f(x) = 1\}$ son densos en $C$. Entonces$f$ no es de la clase Baire $1$.