Teorema de la integral de la traza y la divergencia

Question

Encontré la siguiente igualdad en un documento que estoy leyendo y me quedé atascado porque no puedo verificarlo.

Tenemos un campo vectorial uniforme y libre de divergencias$V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$definido en el toro. Se afirma que$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$dónde$dx$es la medida estándar de Lebesgue en el toro. Mi única idea para comprobar esto es recurrir a algún uso de la integración por partes y al teorema de la divergencia: la "traza" que aparece en la integral debería reducirse a la divergencia de alguna cantidad (utilizando el hecho de que$\text{div } V = 0$) y luego la conclusión seguiría por el teorema de la divergencia de hecho (ya que estamos en el toro).

Sin embargo, algo falla: en 2D un cálculo explícito me dice que el integrando es$$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$(con notación obvia para derivados y$V=(v_1,v_2)$) y dejo de escribir esto como divergencia de algo, ni siquiera usando la integración por partes o el hecho de que$\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

Siento que debería haber algún truco simple (¿general?), pero después de una noche de cálculos me doy por vencido. Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Considere los siguientes campos vectoriales:$$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$en$\mathbb T^N$. Entonces por el teorema de la divergencia,$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$Ya que

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

uno obtiene el resultado.

Answer 2

Entonces, integrando por partes y usando el hecho de que$\nabla\cdot v=0$tú tienes$$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$asi que$$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$