Un corolario curioso: siempre existe alguna $c$ tal que $2g'(c)h'(c)+g(c)h''(c)=0$

Question

En una pregunta reciente , se demostró que si$f,g:[a,b]\to\mathbb R$ son dos funciones dos veces diferenciables tales que $f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ y ambos $g$ y $g''$ no desaparecen en $(a,b)$, entonces $\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{f''(c)}{g''(c)}$ para algunos $c\in(a,b)$.

Ahora, dado cualquier $g$ que satisfaga las premisas anteriores, si tomamos $f=gh$, dónde $h$ es una función dos veces diferenciable, entonces $f$ también es dos veces diferenciable y la condición de que $f(a)=f(b)=0$se satisface automáticamente. Por lo tanto, por el resultado anterior,\begin{aligned} \frac{f(c)}{g(c)}=\frac{f''(c)}{g''(c)} &\ \Rightarrow\ h(c)=\frac{g''(c)h(c)+2g'(c)h'(c)+g(c)h''(c)}{g''(c)}\\ &\ \Rightarrow\ g''(c)h(c)=g''(c)h(c)+2g'(c)h'(c)+g(c)h''(c)\\ &\ \Rightarrow\ 2g'(c)h'(c)+g(c)h''(c)=0.\\ \end{aligned} De ahí obtenemos el siguiente corolario:

Dejar $g:[a,b]\to\mathbb R$ ser una función dos veces diferenciable tal que $g(a)=g(b)=0$ y ambos $g$ y $g''$ no desaparecen en $(a,b)$. Por cada función dos veces diferenciable$h:[a,b]\to\mathbb R$, existe un punto $c\in(a,b)$ tal que $$ \bbox[5px,border:2px solid red] { 2g'(c)h'(c)+g(c)h''(c)=0. } $$

Encuentro este corolario más intrigante que el problema original, porque $h$ básicamente no está relacionado con $g$. ¿Existen pruebas directas o intuitivas que no se refieran al problema original? ¿Pueden las suposiciones que$g$ y $g''$¿La no desaparición se debilita o incluso se elimina del corolario? (En particular, dado que la declaración en el recuadro no implica$g''$, Me pregunto si el corolario sigue siendo cierto cuando $g$ es solo diferenciable o $C^1$.)

Answer 1

Ese corolario se puede demostrar directamente aplicando el teorema de Rolle a $g^2h'$. Eso no es sorprendente porque la declaración sobre$\frac{f(c)}{g(c)}=\frac{f''(c)}{g''(c)}$ se demuestra aplicando el teorema de Rolle a $\phi = f'g - fg'$. Sustituyendo$f=gh$ da $\phi =g^2h'$.

La no desaparición de $g''$ en $(a, b)$ en la otra pregunta garantiza que se puede dividir por $g''(c)$, por lo que esa condición no es necesaria aquí.

Dado que el corolario solo implica $h'$ y la segunda derivada de $g$ no es necesario, se declararía más naturalmente como

Dejar $g, h:[a,b]\to\mathbb R$ ser funciones diferenciables tales que $g(a)=g(b)=0$ y $g$ no desaparece en $(a,b)$. Entonces existe un punto$c\in(a,b)$ tal que $$ 2g'(c)h(c)+g(c)h'(c)=0. $$

Aplicando el teorema de Rolle a $g^\alpha h$ con $\alpha > 0$ se puede generalizar de la siguiente manera:

Dejar $g, h:[a,b]\to\mathbb R$ ser funciones diferenciables tales que $g(a)=g(b)=0$ y $g$ no desaparece en $(a,b)$. Para cada$\alpha > 0$ existe un punto $c\in(a,b)$ tal que $$ \alpha g'(c)h(c)+g(c)h'(c)=0. $$