Un niño lanza 7 monedas justas. Encuentre la probabilidad de que ocurran al menos dos caras, dado que ocurren al menos tres cruces.

Question

Pregunta: Un niño lanza 7 monedas justas. Hay enteros positivos relativamente primos myn de modo que$\frac{m}{n}$es la probabilidad de que ocurran al menos dos caras, dado que ocurren al menos tres cruces. Encuentre (m + n).

A partir del lenguaje de la pregunta, descubrí que está preguntando la probabilidad condicional para los eventos:

1.Ocurrencia de al menos 2 caras = evento A

1. Ocurrencia de al menos 3 colas = evento B es decir. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$

Mi acercamiento:

Para encontrar $P(B)$, Encontré la probabilidad de que no se produzcan colas ($\frac{1}{2^{7}}$), solo ocurre una cola ($\frac{7}{2^{7}}$) y solo se producen dos colas ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), sumándolos y restando de 1 obtuve,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Ahora para encontrar $P(AandB)$ Elegí 5 lanzamientos de los 7 disponibles en $\binom{7}{5}$ formas y arregla 3 colas y 2 caras en $\frac{5!}{2!3!}$ formas, ahora no importa lo que ocurra en los dos lugares restantes (ya que la condición inicial se ha cumplido), por lo que su probabilidad debería ser $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ pero este valor resulta ser mayor que 1, no puedo encontrar el error en mis suposiciones y cálculos, por favor ayude.

Sé que esta pregunta ha sido respondida aquí , pero quiero aclarar dónde me equivoqué o me equivoqué.

Answer 1

Tu idea y cálculo para $\mathbb{P}(B)$son correctos. Tu idea para$\mathbb{P}(A \cap B)$es incorrecta, ya que importa cuáles sean los otros dos valores en su secuencia. Como @ Fawkes4494d3 acaba de señalar correctamente, cuentas eventos varias veces cuando lo haces de esta manera. Para una solución adecuada, piense en los eventos en los que tiene 2 o más caras y 3 o más cruces. Los únicos eventos que satisfacen esta combinación son 3,4 o 5 colas. Así que piensa en cómo puedes calcular la probabilidad de estos eventos.