¿Una definición rigurosa de la exponencial de un operador en QM?
En el curso de Mecánica Cuántica que tomé, definimos el operador exponencial simplemente como $$ \mathrm{e}^{\hat A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \hat A^n \: . $$ Esta es probablemente una buena definición para operadores acotados $\hat A \in B(\mathcal H)$ sobre un espacio de Hilbert $\mathcal H$, ya que las sumas parciales forman una secuencia de Cauchy y $B(\mathcal H)$ es completa, por lo tanto, la suma siempre converge a algún operador $\mathrm{e}^{\hat A} \in B(\mathcal H)$. $$ \hat S_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} \hat A^k, \quad \left\lVert \hat S_n - \hat S_m \right\rVert = \left\lVert \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A \right\rVert^k \to 0 $$
Sin embargo, nunca discutimos si esto está bien definido para operadores ilimitados, aunque no es inusual tomar un exponencial de operadores ilimitados, por ejemplo, cuando se "generan" operadores a partir de transformaciones infinitesimales (por ejemplo, esta pregunta: [1] ).
Mis preguntas son:
- ¿Esta definición también es correcta para operadores ilimitados?
- Si no es así, ¿cuál es la definición correcta?
- Que propiedades hace $\hat A$ tiene que tener para tener un exponencial bien definido?
- Si $\hat A$ se define en $D(\hat A)$ cual es el dominio de $\mathrm{e}^{\hat A}$?
Respuestas
El nombre matemático de la teoría de la aplicación de funciones a los operadores es cálculo funcional , y el que se emplea normalmente cuando se quiere hablar rigurosamente, por ejemplo, del exponencial de los operadores de posición y momento, por ejemplo en el contexto del teorema de Stone, es cálculo funcional de Borel. . Funciona para todos los operadores normales, es decir, todos los operadores a los que se puede aplicar alguna versión del teorema espectral para obtener la medida espectral que un físico escribiría como$\int a \lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$ para $\lvert a\rangle$ los "estados propios" de algún operador normal $A$.
Aplicando el operador $A$ es lo mismo que aplicar $\int a\lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$, entonces aplicando $f(A)$ es lo mismo que aplicar $\int f(a)\lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$. La dificultad matemática es probar la existencia y unicidad del operador descrito por esta medida espectral modificada. P.ej. el libro de Simon y Reed debe tener una prueba de la claridad del cálculo funcional requerido para las aplicaciones físicas.
El dominio del operador resultante es todo el espacio de Hilbert si $f$ está acotado, y si $f$ es ilimitada, entonces es cualquier subconjunto del espacio de Hilbert la expresión $\int f(a)\lvert a\rangle \langle a\vert \psi\rangle\mathrm{d}a$converge en. Tenga en cuenta de nuevo que, rigurosamente, cosas como$\lvert a\rangle$ realmente no existen dentro del espacio de Hibert y $a \lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$es solo una expresión indivisible que denota la medida espectral.
Incluso si ya hay una buena respuesta aceptada, me gustaría decir algo más para corregir por completo algunos detalles.
¿Esta definición también es correcta para operadores ilimitados?
No, no funciona esencialmente debido al uso erróneo de la noción de convergencia.
Sin embargo, es posible probar que, si $A$ - con dominio denso $D(A)$- es cerrado y normal (*) - que incluye el autoadjunto y el caso unitario - entonces hay un subespacio denso$D_A\subset D(A)$de vectores, llamados vectores analíticos donde la fórmula sigue siendo válida con los cambios cruciales que
(a) los operadores deben aplicarse a estos vectores, y
(b) se debe utilizar la topología del espacio de Hilbert (ahora la serie es de vectores en lugar de operadores ),$$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi\:, \quad \forall \psi \in D_A .$$
(El parámetro $t\in \mathbb{C}$ se puede tomar en un vecindario suficientemente pequeño de $0$, independiente de $\psi\in D_A$.)
Hago hincapié en que la serie no es la definición de lo exponencial, la identidad anterior es una identidad de dos objetos matemáticos definidos independientemente.
Sin embargo, esa serie se puede usar para definir de manera equivalente el exponencial en dicho dominio y esta definición coincide con la definición de operadores ilimitados que se muestra a continuación.
Si no es así, ¿cuál es la definición correcta?
Si $A: D(A) \to H$, densamente definida, cerrada y normal, entonces admite una medida espectral $P: B(\mathbb{C}) \to B(H)$, dónde $B(\mathbb{C})\ni E$es el Borel$\sigma$-álgebra en$\mathbb{C}$ y cada $P(E)$es un proyector ortogonal en$H$.
Eventualmente podemos definir (en un dominio adecuadamente denso definido a continuación) $$f(A) := \int_{\mathbb{C}} f(\lambda) dP(\lambda)\tag{1}$$para cada función medible de Borel $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$.
El exponencial de dicho $A$ se define de esta manera simplemente reemplazando $f$ para el mapa exponencial.
Si $A$es autoadjunta ,$B(\mathbb{C})$ puede ser reemplazado por $B(\mathbb{R})$ desde afuera $\mathbb{C}$ la medida espectral desaparece.
En realidad, el apoyo de la medida espectral de $A$(densamente definido, cerrado y normal) siempre coincide con el espectro $\sigma(A)$ de $A$.
Que propiedades hace $\hat A$ tiene que tener para tener un exponencial bien definido?
Tenemos dos casos que realmente coinciden en los que ambas definiciones son adecuadas.
(a) Si $A$está definido y acotado en todas partes, la exponencial está automáticamente bien definida por su expansión en serie, con respecto a la norma del operador , y esta expansión puede usarse como la definición misma.
(b) Si $A$no está definido / acotado en todas partes, la definición anterior (1) basada en el cálculo funcional de Borel se aplica cuando $A$ es densamente definido, normal y cerrado, en particular autoadjunto.
Esta última definición, (b), coincide con la primera, (a), cuando $A$ está definido en todas partes, acotado y normal, por ejemplo si $A$es unitario .
Como se declaró al principio, la expansión de la serie es sin embargo válida para operadores normales, cerrados y densamente definidos que trabajan en vectores analíticos y utilizan la norma de $H$(técnicamente la topología de operador fuerte ).
Hasta donde yo sé, estos (densamente definidos, cerrados, normales) son los requisitos mínimos que producen una teoría coherente para los operadores ilimitados.
Si $\hat A$ se define en $D(\hat A)$ cual es el dominio de $\mathrm{e}^{\hat A}$?
El dominio de $f(A)$ como en (1) es
$$D(f(A)) = \left\{\psi \in H \:\left|\: \int_{\mathbb{c}} |f(x)|^2 d \mu^A_\psi(x)< +\infty \right.\right\}\tag{2}$$ dónde $$\mu^A_\psi(E) := \langle \psi |P(E) \psi\rangle$$ es una medida de Borel finita positiva estándar.
Si $A$ es autoadjunta $\mu^A_\psi$ es compatible con $\mathbb{R}$ en realidad en $\sigma(A)$. Allí,$f(x) = \exp x$ no está acotado (a menos que $\sigma(A)$ está acotado que menas que $A$ está acotado), de modo que $D(f(A)) \subsetneq H$.
Sin embargo, si en cambio consideras $f(x)= \exp ix$ y $A$ es autoadjunta, entonces $f$ está limitado por $1$ en $\mathbb{R}$. Ya que$\mu^A_f(\mathbb{R}) = ||\psi||^2 < +\infty$, resulta de (2) que $$D(f(A)) = H\:.$$
Si $E \subset \mathbb C$ es Borel establecido y $\chi_E(x)=1$ para $x\in E$ y $\chi_E(x)=0$ de lo contrario, entonces $$P_E := \int_{\mathbb C} \chi_E(x) dP^{(A)}(x)$$ es un proyector ortogonal en un subespacio cerrado $H_E$.
Una familia de vectores analíticos $\psi$ así satisfaciendo $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi$$cuyo tramo (finito) es denso se obtiene como sigue. Toma una clase de conjuntos Borel$E_N\subset \mathbb C$, dónde $N\in \mathbb N$, requiriendo que cada $E_N$ está acotado y $\cup_N E_N = \mathbb C$. Dicha familia de vectores analíticos consta de todos los vectores$\psi \in H_{E_N}$ para cada $N \in \mathbb N$.
Como comentario final, enfatizo que casi todos los operadores con cierta relevancia en QM están densamente definidos y cerrados.
(*) $A: D(A) \to H$está cerrado si el conjunto de pares$(\psi, A\psi)$ con $\psi \in D(A)$ es un conjunto cerrado en $H \times H$.
$A: D(A) \to H$densamente definido y cerrado es normal si$A^\dagger A= A A^\dagger$ en los dominios naturales de ambos lados que deben coincidir.