Una pregunta en respuesta de un usuario en la pregunta cada biyección$f:\mathbb{R}\to[0,\infty)$tiene infinitas discontinuidades

Question

Esta pregunta en particular:

Demostrar que toda biyección$ f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$tiene infinitos puntos de discontinuidad.

fue preguntado en un cuestionario mío.

Incapaz de resolverlo, busqué en MSE. Encontré esta solución en particular.

Puntos de discontinuidad de una función biyectiva$f:\mathbb{R} \to [0,\infty)$

Pero tengo una duda en solución. Pero tanto el autor de la pregunta como el que responde no se ven en el sitio web durante mucho tiempo.

Así que estoy haciendo mi duda como una pregunta separada:

En la tercera línea de respuesta dada en el enlace anterior, ¿cómo deduce el autor que$f(I_m)$es un intervalo abierto? Esto significa que$f$asigna intervalos abiertos a intervalos abiertos? ¿Por qué?

¿Alguien puede dar una respuesta rigurosa?

Answer 1

Si$f$es continua e inyectiva en un intervalo abierto$(a,b)$después$f$es monótono. Suponer$f$esta incrementando. Por IVP de funciones continuas la imagen es un intervalo, llámalo$I$. Supongamos que este intervalo contiene uno de sus puntos finales. Decir$I=[t,s)$. Después$t=f(x)$para algunos$x \in (a,b)$. Elige cualquiera$s$Entre$a$y$x$. Después$f(s) <f(x)=t$una contradicción Similarmente,$I$no puede contener su punto final derecho.

Answer 2

Un intervalo abierto es un conjunto conexo, y$f$es continuo, entonces$f[I_m]$está conectado. Los únicos subconjuntos conexos de la línea real son los intervalos (abiertos, semiabiertos o cerrados), los rayos (abiertos o cerrados) y$\Bbb R$en sí mismo, por lo que$f[I_m]$. Si no está familiarizado con la noción topológica general de conectividad, puede usar el teorema del valor intermedio para demostrar que$f[I_m]$debe ser de uno de esos tipos. El punto crucial es que estos son los subconjuntos convexos de$\Bbb R$: si$x$y$y$son miembros de uno de estos conjuntos, y$x<z<y$, después$z$es también un miembro de ese conjunto.

Como se indica en la prueba,$f\upharpoonright I_m$, al ser continuo e inyectivo, es (estrictamente) monótono, por lo que es estrictamente preservador del orden o estrictamente inverso del orden. Ya que$I_m$es un intervalo abierto o rayo abierto, esto significa que$f[I_m]$debe ser también un intervalo abierto o un rayo abierto: si tuviera un punto final, ese punto final tendría que ser la imagen de un punto final de$I_m$.