Una pregunta sobre el cálculo de expectativas [duplicado]
Dejar$X$y$Y$ser dos variables aleatorias.
Veo que un libro dice$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$sin prueba
Creo que, para el caso más simple, la prueba puede ser la siguiente:$E(X + Y) = \sum p_i (X + Y) = \sum (p_i X + p_iY) = \sum (p_i X) + \sum (p_i Y) = E(X) + E(Y)$.
Pero, ¿qué sucede si las probabilidades correspondientes para Y son$q_i$y$p_i \ne q_i$¿en general?
Respuestas
Nota : en aras de la simplicidad escribiré$f(x,y)$en vez de$f_{XY}(x,y)$. La siguiente prueba es en el caso continuo, pero una prueba similar es en el caso discreto o en general
$$\mathbb{E}[X+Y]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}(x+y)f(x,y)dxdy=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x,y)dxdy+\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}yf(x,y)dxdy=$$
$$\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(y|x)dy}_{=1}+\int_{-\infty}^{+\infty}yf(y)dx\underbrace{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x|y)dx}_{=1}=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$$
EDITAR: caso discreto
$$\mathbb{E}[X+Y]=\sum_x\sum_y (x+y)p(x,y)=...$$