Unicidad de la representación de Fourier

Question

Empecé a leer sobre el análisis de Fourier. Estaba leyendo sobre la singularidad de la representación de Fourier. Aparentemente si la serie de Fourier$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$converge uniformemente a$f(x)$entonces los valores de$c_n$se ven obligados a ser el valor$\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$. Esto se dice como si fuera obvio, pero no puedo entender por qué. No veo cómo entra en juego la convergencia uniforme.

Answer 1

La convergencia uniforme implica que$$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$