Usando la regla de Leibniz para diferenciar bajo el signo integral para integrales de línea

Question

¿Existe una referencia que demuestre la validez de diferenciar bajo la integral de línea para probar las fórmulas integrales de Cauchy?

$$f’(w)=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac d{dw}\frac{f(u)}{u-w}du$$

Answer 1

Puede utilizar el teorema 2.27 del texto Análisis real de Folland. Una versión simplificada de ese teorema para números complejos diría que si$C,D$ son compactos, $h(z,w):C\times D\to \mathbb{C}$ es analítico para todos $w$, $\partial h/\partial w (z,w)$ es continua en ambos argumentos, entonces para todos $w\in D$ resulta que $$\frac{\partial}{\partial w} \int_C h(z,w) dz=\int_C\frac{\partial}{\partial w}h(z,w)dz$$

Básicamente, la razón por la que esto funciona es porque $$\frac{\int_C h(z,w)dz-\int_C h(z,w_0)}{w-w_0}=\int_C\frac{h(z,w)-h(z,w_0)}{w-w_0}dz$$Folland utiliza el Teorema de convergencia dominada para garantizar los trabajos anteriores. En nuestro caso como$C\times D$ es compacto por el teorema de Tychonoff, y $\partial h/\partial w (z,w)$ es continuo en $C\times D$, luego $|\partial h/\partial w (z,w)|$ está delimitado por encima de una constante, digamos $M$. Ya que$C$ tiene medida finita (compacta) se sigue que $M\in L^1(C)$ por lo que somos libres de usar convergencias dominadas para justificar la diferenciación bajo el signo integral.

En tu caso, $C$es un círculo, que es compacto. Ahora para$f(u)/(u-w)$, podría decir que esto no está definido en un conjunto compacto, pero si limitamos los valores de $w$ a un pequeño disco cerrado y los valores de $u$ al círculo, entonces nuestra función se define en un dominio de la forma $C\times D$ dónde $C,D$ son compactos.

Answer 2

Puedes encontrar una prueba detallada aquí.

Aquí hay otra forma: usando hechos simples sobre series de potencia, tenemos, fijando un número entero $n,$ y escribiendo $f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-w)^k$ dentro $C,$ tenemos

$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}(z-w)^{n+1}\Rightarrow \frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-w)^{k-n-1}.$

Resulta que $\displaystyle \int_C\frac{f(z)}{(z-w)^{n+1}}dz=2\pi i a_k.\ $ Pero $a_k=\frac{f^{(k)}(w)}{k!}.\ $ El resultado sigue.