Usando números complejos para probar el Teorema de Napoleón

Aug 20 2020

Dejar$ABC$ser un triángulo y erigir triángulos equiláteros en los lados$\overline{BC}$,$\overline{CA}$,$\overline{AB}$fuera de$ABC$con centros$O_A$,$O_B$,$O_C$. Pruebalo$\bigtriangleup O_AO_BO_C$es equilátero y que su centro coincide con el baricentro del triángulo$ABC$

Ya he visto esta respuesta Demostrando el Teorema de Napoleón con números complejos pero mi duda es otra,

Ahora, en esta respuestahttps://artofproblemsolving.com/community/c618937h1650553_proposition_634_napoleons_theorem($5$la publicación)

ellos escribieron -

$O_AC$es un$\frac\pi6$rotación de$BC$seguida de una dilatación con relación$\frac1{\sqrt3}$a$C,$entonces tenemos

$\begin{align*} \frac{o_A-c}{b-c}&=\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3+i}{2}\end{align*}$pero no puedo entender esto, ¿alguien puede explicar este paso por favor?

Nota : he resuelto este problema usando la persecución de ángulo simple, pero quiero entender correctamente cómo obtuvieron las coordenadas de$O_A$

gracias

Respuestas

1 RezhaAdrianTanuharja Aug 20 2020 at 11:13

Ya que$O_A$es el centro de un triángulo equilátero con$BC$como uno de su lado, entonces$\angle O_ABC=\frac{\pi}{6}$. Es más,$\triangle O_ABC$es isósceles con$\angle O_ABC=\angle O_ACB=\frac{\pi}{6}$.

Espero que puedas implicar el resto de estos