Usar diferenciales (no derivadas parciales) para demostrar que d𝜃 / dx = -sin (𝜃) / r [duplicar]
Estoy tratando de probar las partes de cada componente de la matriz inversa en la imagen adjunta. He intentado usar diferenciales y luego resolver los otros componentes. (Me gustaría resolverlo de esta manera). Tratando de resolver, por ejemplo,$\frac{d\theta}{dx}$ (en la parte inferior izquierda de la matriz inversa [adjunta a continuación]) $$x = r cos(\theta)$$ -> $$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$$Luego, observando que estamos sosteniendo $r = constant$, por lo tanto $dr = 0$. Lo entiendo$\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$, que está cerca. Puse esto en una calculadora parcial e hice$\theta$ una función de xyr, $\theta = cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2 +y^2}}\right)$. Tomando el$\frac{\partial \theta}{\partial x}$Obtengo la respuesta correcta debido a que r es una función de xey. Si uso el$cos^{-1}\left(\frac{x}{r}\right)$ y tome el parcial, obtengo lo que dije anteriormente ($\frac{d\theta}{dx} = \frac{- 1}{r sin(\theta)}$). También intenté reemplazar dr en$dx = cos(\theta)dr - rsin(\theta)d\theta$ mediante el uso $r^2=x^2+y^2$ reemplazando dr con $rdr = xdx + ydy$donde supuse que dy era constante. Lo que me dio la respuesta incorrecta. Me gustaría mejorar mi pensamiento lógico, por lo que cualquier consejo sobre lo que hice también sería genial. ¡Gracias!
Resumen: estoy tratando de probar usando diferenciales (no parciales) que $\frac{d\theta}{dx} = \frac{-sin(\theta)}{r}$
Respuestas
El problema es que no puedes simplemente escribir $\frac{d\theta}{dx}$. En termodinámica, hay una notación que realmente es útil e importante. Escriben derivadas parciales con un subíndice para indicar qué variables quedan fijas. Entonces, por ejemplo, si tenemos$z=f(x,y)$ y queremos encontrar la derivada de $f$ con respecto a $x$, arreglando $y$, nosotros escribimos $$\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y \quad\text{or}\quad \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_y.$$ Esto es importante porque es posible que tengamos muchas variables dando vueltas y es importante saber qué variables están fijas.
En su ejemplo, podemos pensar en $(x,y)$ como funciones de $(r,\theta)$. Entonces si escribimos$\partial x/\partial\theta$, esto normalmente significa $\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r$. Cuando arreglas$r$, entonces se vuelve cierto (porque esencialmente estamos haciendo cálculo unidimensional) que $$\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r = \frac 1{\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)_r}.$$ Sin embargo, está confundiendo las cosas al intentar calcular $\left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y$, y estas son dos bestias totalmente diferentes. Realmente debe tener cuidado al realizar un seguimiento de las variables independientes. Si los cambia, entrarán más reglas de cadena.
Solo para reiterar, está tratando de comparar \begin{align*} \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_r &= -\frac1{r\sin\theta} = -\frac1y \quad\text{and} \\ \left(\frac{\partial\theta}{\partial x}\right)_y &= -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}r. \end{align*}
Por cierto, ten cuidado. En general, no tenemos$\frac{\partial x}{\partial\theta} = \frac1{\frac{\partial\theta}{\partial x}}$. De hecho, desde$x=r\cos\theta$, tenemos $\partial x/\partial\theta = -r\sin\theta$ (cual es $-y$). Por otro lado, desde$\theta =\arctan(y/x)$ (al menos para $-\pi/2<\theta<\pi/2$), tenemos $\partial\theta/\partial x = -\frac y{x^2+y^2}$, que es muy diferente de $-y$. Esta es tu$-\sin\theta/r$, por supuesto. La relación correcta proviene de las matrices derivadas completas (llamadas jacobianas), que son inversas$2\times 2$ matrices.
Puede hacer todo esto correctamente con diferenciales (formas diferenciales, de hecho), pero aún debe realizar un seguimiento de quiénes son las variables independientes. Y realmente debes dejar de escribir cosas como$d\theta/dx$ a no ser que $\theta$Realmente es una función simplemente de una variable$x$. Para obtener su primera fórmula, tendría que escribir$d\theta$ en términos de solo $dx$ y $dr$; para conseguir el segundo tendrías que escribir$d\theta$ en términos de lo habitual $dx$ y $dy$. Es sólo una cuestión de lo que la variable independiente s son.