Uso de la desigualdad de Schwarz para probar la desigualdad de Chung Erdős

Aug 18 2020

Estoy tratando de entender una prueba de la desigualdad de Chung Erdős. Todas las fuentes que puedo encontrar (incluidas las preguntas y respuestas relacionadas con MSE) indican algo como lo siguiente: si$A_1, \ldots, A_n$son eventos y si$X_i$es la variable aleatoria dada por la función característica de$A_i$,$i = 1, \ldots, n$, entonces la siguiente desigualdad se sigue de la desigualdad de Schwarz:

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

Probablemente estoy siendo particularmente estúpido con esto, pero simplemente no puedo ver cómo aplicar la desigualdad de Schwarz para obtener lo anterior.

Respuestas

2 kimchilover Aug 17 2020 at 22:50

Una forma de la desigualdad de Cauchy-Schwarz es que$E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (Esta es la desigualdad CS habitual aplicada al espacio de variables aleatorias de valores reales con segundos momentos, con producto interno$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)

Aplicar esto en el caso$U=X_1+X_2+\cdots+X_n$y$V=I_{U>0}$. Tenga en cuenta que$E[U]=E[UV]$, que$V^2=V$y eso$E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, entregando tu desigualdad$$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

1 Malkoun Aug 17 2020 at 22:49

Dejar$X = X_1 + \cdots + X_n$y denota por$f$su función de densidad de probabilidad.

Escribe$X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. Después

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

por Cauchy-Schwarz.