Valor máximo de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Question

Entonces encontré una pregunta en mi libro de texto:

En el triángulo ABC, si $A$,$B$,$C$ representar ángulos, luego encontrar el valor máximo de $\sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2)$?

Así que ya lo intenté y puse mi sangre, sudor y lágrimas en esta pregunta ... ¡Pero no puedo resolver más!

Así que este es mi enfoque: al usar $\sin(C)+\sin(D)$ y $A+B+C= \pi$;

1. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+\cos(\frac{A+B}{2})$ Ahora, usando $\cos(2A)$ fórmula es decir, $1-2\sin^2(A) $
2. $2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1-2\sin^2(\frac{A+B}{4})$
3. Entonces obtuve cuadrática en variable $\sin(\frac{A+B}{4})$
4. $-2\sin^2(\frac{A+B}{4})+2\sin(\frac{A+B}{4})\cos(\frac{A-B}{4})+1$

Pero no sé qué hacer después de eso

¿Puedo resolver esta pregunta usando este método o tengo que usar un enfoque diferente?

Por cierto, la respuesta es 3/2

Editar: Acabo de terminar mi escuela secundaria y me estoy preparando para el examen de ingreso IIT-JEE, así que no uses términos difíciles para resolver esta pregunta.

Esta solución es enviada por mi maestro, al menos hazme entender esta [https://i.stack.imgur.com/51pCB.png]

Answer 1

Donde te has detenido, deja $$z=-2\sin^2x+1+2\sin x\cos y$$

$$\iff2\sin^2x-2\sin x\cos y+z-1=0$$

Como $\sin x$ es real, el discriminante debe ser $\ge0$

$\implies8(z-1)\le(-2\cos y)^2\le2^2$

$\implies8z\le4+8$

La igualdad ocurre si $\cos^2y=1\iff\sin y=0$

y consecuentemente $\sin x=\mp\dfrac{\cos y}2=\mp\dfrac12$

Answer 2

Ya que $\sin x$es cóncavo en agudo$x$, por la desigualdad de Jensen el máximo se encuentra en$A/2=B/2=C/2=\pi/6$, como $3\sin\pi/6=3/2$.

Editar: dado que el OP mencionó en un comentario sobre la respuesta de @ B.Goddard de que conocen la diferenciación, aquí hay otra prueba de que el caso equilátero logra un máximo:

Continúe utilizándolo $\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{A+B}{2}$. Para extemizar$\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2}+\cos\frac{A+B}{2}$ resolver simultáneamente$$\tfrac12\cos\tfrac{A}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0,\,\tfrac12\cos\tfrac{B}{2}-\tfrac12\cos\tfrac{C}{2}=0$$verbigracia. $A=B=C$. Dejaré que el lector compruebe que es un máximo considerando segundas derivadas.

Answer 3

Puedes hacerlo con multiplicadores de Lagrange. Maximizar$f=\sin x/2 + \sin y/2+\sin z/2$ bajo la restricción $g=x+y+z = \pi$.

Luego

$$\nabla f = \langle \cos(x/2)/2, \cos(y/2)/2, \cos(z/2)/2 \rangle =\lambda\langle 1,1,1 \rangle = \nabla g.$$

Esto muestra que $x=y=z$ y el triángulo máximo es equilátero.

Answer 4

En un triángulo ABC, $A+B+C=\pi$ $$f(x)=\sin(x/2) \implies f''(x)=-\frac{1}{4}\sin(x/2)<0, x\in[0,2\pi].$$ Entonces por la desigualdad de Jemsen $$\frac{f(A/2)+f(B/2)+f(C/2)}{3} \le f(\frac{A+B+C}{6}).$$ $$\implies \frac{\sin (A/2)+\sin(B/2)+\sin{C/2}}{3} \le \sin\frac{\pi}{6}.$$ $$\implies \sin(A/2)+\sin(B/2)+\sin(C/2) \le \frac{3}{2}$$